Una secuencia convergente tiene precisamente un punto de acumulación.

Question

Como un paso en una prueba que he estado tratando de mostrar que la convergencia de una secuencia implica que debe tener precisamente un punto de acumulación. Esta es la definición que utilizamos para un punto de acumulación

Deje $S$ ser un conjunto de números reales. Un número real es un punto de acumulación $s_0$ de $S$ si y sólo si para cualquier $\epsilon > 0$, existe al menos un punto de $t$ de $S$ tal que $0 < |t-s_0| < \epsilon$.

Quiero probar:

Lema: Una secuencia convergente tiene exactamente un punto de acumulación.

Mis pensamientos: Desde el límite de la secuencia existe, sabemos que el conjunto no puede tener 2 la acumulación de puntos o más, vamos a demostrar por contradicción.

Si queremos tener varios acumulación de puntos que el límite no existe porque nunca podemos ser arbitrariamente cerca de un único punto (dentro de ϵ), debido a que existen ciertos subsecuencias que cada ser arbitrariamente cerca de al menos dos de acumulación de puntos, los cuales determinan la distancia mínima a la que una secuencia puede ser desde un punto de agregación (por lo que obtener un límite inferior y por lo tanto no podemos obtener la convergencia). No debe ser precisamente un punto de acumulación.

No sé cómo hacer esto más precisa de una instrucción, hay un montón de palabras y realmente no es estructurado. Estoy buscando algo de ayuda para hacer más riguroso el argumento.

Answer 1

Una acumulación punto de una secuencia $(a_n)_n$ no es la misma que la acumulación punto de su conjunto de valores de $\{a_n : n \in \mathbb{N}\}$.

En efecto, considerar la constante de secuencia $a_n = a, \forall n \in \mathbb{N}$. Claramente $(a_n)_n$ converge a $a$, pero el conjunto de $\{a_n : n \in \mathbb{N}\} = \{a\}$ no tiene acumulación de puntos por su definición.

La correcta definición es la siguiente:

$x \in \mathbb{R}$ es un punto de acumulación de una secuencia $(a_n)_n$ si para cada a$\varepsilon > 0$ el intervalo de $\langle x-\varepsilon, x+\varepsilon\rangle$ contiene una infinidad de términos de la progresión $(a_n)_n$, es decir, por cada $n \in \mathbb{N}$ existe $m \in \mathbb{N}, m > n$ tal que $|x-a_m| < \varepsilon$.

Trate de mostrar su lema ahora.

Answer 2

Supongamos que la secuencia converge a $x$. Claramente $x$ es un punto de acumulación.

Supongamos por el contrario que tenemos un segundo punto de acumulación, $y$. Deje $r = \frac{|x-y|}{2}$.

Observe que no existe $N>0$, de tal manera que para todos los $n>N$, a continuación, $|x_n -x|<r$.

Que es cuando se $n>N$, tenemos $$|x_n - y|=|x_n-x+x-y| \ge ||x_n-x|-|x-y||=||x_n-x|-2r|=2r-|x_n-x|>r$$

Por lo tanto no podemos tener infinidad de puntos que obtenga arbitrariamente cerca de $y$, por lo tanto $y$ no puede ser un punto de acumulación.