dimensiones del espacio vectorial pregunta

Question

Deje que$V$ sea un espacio vectorial de la dimensión$4$, y$T:V\to V$ una transformación lineal. Deje$U=\ker(T)$ y suponga$T(x)\neq0$ para algunos$x\in V$. ¿Cuáles son los valores posibles de la dimensión de$U$?

Mi intento: así puedo probar que$U$ es un subespacio de$V$, así que sé que$\dim(U)$ debe ser menor o igual que$4$, pero como claramente no lo es No es cierto que$U=V$ debe ser menor que 4. ¿Qué más me estoy perdiendo? Gracias

Answer 1

Sí, tiene toda la razón, si$T(x)\neq 0$ para algunos$x$ entonces$dim(U) <4$.

Como ejemplo, si también se diera que "para algunos$x\neq0$ teníamos$T(x)=0$" entonces también podríamos concluir que$dim(U) >0$.

Answer 2

Sí. El hecho de que$T(x)\ne0$ para algunos$x\in V$ implica que el rango de$T$ es$\ge1$. Por el teorema de nulidad de rango, $$\ dim U = \ dim V- \ operatorname {rank} T = 4- \ operatorname {rank} T <4$$ No es difícil mostrar que cualquier valor entre$0$ y$3$ puede ser tomado.