\begin{align} \sqrt{\frac{e\pi}{2}}=1+\frac{1}{1\cdot3}+\frac{1}{1\cdot3\cdot5}+\frac{1}{1\cdot3\cdot5\cdot7}+\dots+\cfrac1{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{2}{1+\cfrac{3}{1+\ddots}}}} \end{align}
como se ve aquí .
¿Hay otras series que relacionen $\pi$ y $e$ ?
Además, ¿es posible volver a escribir la fracción continua anterior en términos de funciones / números conocidos?
La suma infinita es $\,\sqrt{e \pi/2}\,\textrm{erf}(\sqrt{1/2})\,$ como se indica en la secuencia A060196 de OEIS . La fracción continua es $\,\sqrt{e \pi/2}\,\textrm{erfc}(\sqrt{1/2})\,$ como se indica en la secuencia A108088 de OIES . La suma, por supuesto, es $\,\sqrt{e \pi/2}\,$ desde $\,\textrm{erf}(x) + \textrm{erfc}(x) = 1\,$ por definición.
Hace alrededor de 2 años he descubierto un montón de muy buena serie que se relacionan $\pi$ e $e$, por ejemplo : $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{16n^4-1}=\frac{\pi}{32}\cdot\frac{e^{\pi}+1}{e^{\pi}-1}$$ $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{4n^4+1}=\frac{\pi}{8}\cdot\frac{e^{\pi}-1}{e^{\pi}+1}$$ $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{(4n^4+1)(16n^4-1)}=\frac{\pi}{10}\cdot\frac{e^{\pi}}{e^{2\pi}-1}$$ $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2(32n^4+3)}{(4n^4+1)(16n^4-1)}=\frac{\pi}{4}\cdot\frac{e^{2\pi}+1}{e^{2\pi}-1}$$ $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2(64n^4+11)}{(4n^4+1)(16n^4-1)}=\frac{\pi}{2}\cdot\frac{e^{3\pi}-1}{(e^{2\pi}-1)(e^{\pi}-1)}$$
Si usted está buscando para cualquier matemático de identidad que se relaciona $\pi$ e $e$, también puedo sugerir :
$\cdot$ El Stirling límite : $$\lim_{n\to\infty}\frac{n!e^n}{n^n\sqrt{n}}=\sqrt{2\pi}$$
$\cdot$ El conocido integral : $$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos(x)}{x^2+1}\text{d}x=\frac{\pi}{e}$$
$\cdot$ Victor Adamchik de las integrales : $$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\text{d}x}{(e^x-x+1)^2+\pi^2}=\frac{1}{2}$$ $$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\text{d}x}{(e^x-x)^2+\pi^2}=\frac{1}{1+\Omega}$$ Donde $\Omega$ es la constante matemática definida por $\text{ }\Omega e^{\Omega}=1$.
Espero que esto ayude.
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