$C[0,1]$ no es compacto bajo norma máxima

Question

La pregunta podría ser duplicado. Pero yo sólo quiero saber si mi argumento tiene algún defecto en ella.

Deje $X = C[0,1]$$d(f,g) := \max_{x \in X} |f(x)-g(x)|$. Supongo que si X fue, de hecho, compacto, entonces también es totalmente acotado. Es decir, $\exists \;\epsilon > 0$ tal que $X$ puede ser escrito como $\bigcup_{i=1}^N B_{\epsilon}(x_i)$. A continuación,$d(f,g)\; \leq N \cdot (2\epsilon)$. Pero $\forall\;\epsilon > 0$, puedo encontrar una constante función continua en [0,1] tal que $f(x) = 2N\epsilon + 1$ $\forall x \in X$. Por lo tanto, $X$ no puede ser totalmente acotada y, por lo tanto, no compacto.

Teorema: Espacio Métrico X es compacto si X es completo y totalmente acotado

Estoy dudoso porque aparentemente recta hacia adelante es la prueba de que no se ve en cualquier parte. Así que estoy confundido.

Answer 1

Su prueba parece correcta, pero tenga en cuenta que también puede utilizar el hecho mucho más sencillo de que un espacio métrico compacto debe estar delimitado y$C([0,1])$ no está delimitado. De hecho, cualquier espacio normado no nulo-dimensional$(X,||\cdot||)$ no puede ser delimitado porque si$v \in X$ con$||v|| \neq 0$ entonces

PS

para$$ d_X(0,\lambda v) = ||\lambda v|| = |\lambda| ||v|| $ es arbitrariamente grande.