Completar campo equivale a completar extensión

Question

Supongamos que$a,b \in \overline{\mathbb{Q}}$ es tal que la extensión de campo$\mathbb{Q}(b) \mid \mathbb{Q}(a)$ es normal. Además, deje que$\mathfrak{p} \neq (0)$ sea un ideal primordial en el anillo de enteros$\mathcal{O}_{\mathbb{Q}(a)}$ de$\mathbb{Q}(a)$ para que el polinomio mínimo de$b$ sobre$\mathbb{Q}(a)$ se divida sobre el% completado $\mathbb{Q}(a)_{\mathfrak{p}}$. Si$P$ es un ideal primordial en$\mathcal{O}_{\mathbb{Q}(b)}$ tal que$P \cap \mathcal{O}_{\mathbb{Q}(a)} = \mathfrak{p}$, es correcto que las terminaciones concuerden, es decir, que$$\mathbb{Q}(a)_{\mathfrak{p}} \cong \mathbb{Q}(b)_P?$ $

EDITAR: Si esto simplifica el asunto, podemos mantenernos en el caso$a=0$, por lo tanto,$\mathbb{Q}(a) = \mathbb{Q}$.

Answer 1

Sí, esto es correcto.

Más en general, vamos a $ L/K $ ser una extensión algebraica donde $ L=K(\alpha) $ $ \alpha $ tiene un mínimo de polinomio $ f(X) $$ K $. Deje $ v $ ser una valoración en $ K $. A continuación, las valoraciones en $ L $ que se extienden $ v $ están en una correspondencia uno a uno con la irreductible factores de $ f(X) $ cuenta en las $ K_v[X] $. Es decir, si $ f(X) = \prod_{i=1}^{r} f_{i}(X)^{m_i} $ es la factorización de $ f $ en irreducibles en $ K_v[X] $, hay exactamente $ r $ extensiones de $ v $$ L $, decir $ w_1, w_2, \ldots ,w_r $, y para cada finalización, tenemos un isomorfismo $$ L_{w_i} \cong \frac{K_v[X]}{f_i(X)} \ \ , \ \ \ \forall \ i = 1,2 \ldots,r$$ En el caso en cuestión, el mínimo polinomio se divide, entonces, el $ f_i $ son lineales factores y, por tanto, de obtener el deseado isomorfismo. Los detalles de esto se puede encontrar en el Capítulo 2 de Neukirch del libro, la Teoría Algebraica de números.