Reunión de la cafetería

Question

$A$ $B$ deciden reunirse en una cafetería entre las $5$ pm y $6$ pm están de acuerdo en que la persona que llega primero a la cafetería esperar exactamente $15$ minutos por el otro. Si cada uno de ellos llega a una hora aleatoria entre la $5$ pm y $6$ pm, ¿cuál es la probabilidad de que la reunión se lleva a cabo?

Me imaginé que si uno de ellos llega en el primer minuto, a continuación, la probabilidad de que las dos salas de reuniones serían $15/60$, debido a que la segunda persona se puede llegar desde la $1^{st}$ minutos hasta que el $15^{th}$ minutos y reunirse con él. Del mismo modo, si la primera persona que llegue en el segundo minuto, la probabilidad sería $16/60$. Esto continuará hasta que el $14^{th}$ minutos y la probabilidad sería $29/60$. La probabilidad se mantendrá $29/60$ hasta el $45^{th}$ minuto, después de que poco a poco va a disminuir en el orden $28/60, 27/60,... , 15/60.$

No estoy seguro de si mi enfoque es correcto. También estoy atascado después de un momento, con mi enfoque. Por favor explique detalladamente cómo resolver este tipo de preguntas.

Answer 1

Deje $X$ $Y$ el tiempo en unidades de horas que $X$ $Y$ llegar. Asumo aquí que están distribuidos de manera uniforme en $[0,1]$ e independiente. Luego de la reunión que sucede siempre $|X-Y| \leq 1/4$. Por lo que la probabilidad de que la reunión se

$$\frac{\int_{|x-y| \leq 1/4,0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1} dx dy}{\int_{0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1} dx dy}.$$

Es decir, es el área de la región en el plano donde se encuentran divididos por la zona de la plaza (que simplemente es $1$). Esta región es la plaza, excepto para los dos triángulos que se encuentran por encima de $y=x+1/4$ e inferior al $y=x-1/4$. Estos tienen la altura y la anchura $3/4$, por lo que sus áreas son cada una de las $9/32$, que se suman a $9/16$. De manera que el área de la región es $7/16$, que es también la probabilidad de la reunión.

Un argumento similar puede hacerse cuando se supone que $X$ $Y$ tienen una distribución discreta en lugar de (como usted parece estar haciendo en la pregunta original).

Answer 2

Una gráfica de la solución a este problema:

Sea a y B Alice y Bob tiempos de llegada, ambas variables tomando valores entre 0 y 1.

Desde que Alice y Bob debe llegar dentro de 1/4 de horas de cada uno de los otros, el siguiente ecuación deben ser satisfechas:

$$|A - B| \leq 1/4$$

Podemos romper este valor absoluto en los dos casos siguientes:

$$ A \geq B + 1/4, and, A \leq B - 1/4$$

Representación gráfica de estas desigualdades en una parcela donde a y B son entre 0 y 1, crea tres regiones. La región donde la desigualdad está satisfecho es la diagonal de la tira por la mitad.

Puesto que la probabilidad es proporcional al área, y el área total de la parcela es de 1, el área de la diagonal de la tira es la probabilidad de que la reunión se llevará a cabo. Calcular la probabilidad de que:

$$ P = 1 - (3/4)^2 = 7/16$$