Cómo atar $\int^{\pi}_{-\pi}|D_{n}(t)|\,dt$ ¿desde arriba?

Question

Rudin me pidió que atara $$\int_{-\pi}^{\pi} |D_{n}(t)|\,dt$$ de arriba. Necesito un límite a nivel de $o(\log(n))$ .

El fondo es:

Si $s_{n}$ es el $n$ -suma parcial de la serie de Pourier de una función $f\in C(T)$ , demuestre que $$\frac{s_{n}}{\log[n]}\rightarrow 0$$ uniformemente. Es decir, demostrar que $$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{|s_{n}|_{\infty}}{\log(n)}=0$$ Por otro lado, si $\lambda_{n}/\log[n]\rightarrow 0$ demostrar que existe un $f\in C^(T)$ tal que la secuencia $s_{n}(f,0)/\lambda_{n}$ no tiene límites.

Actualización: una evaluación numérica para $n=10^{800}$ no es concluyente.

Answer 1

Bueno, puedes obtener el valor de la integral de forma muy explícita. Como ya has apuntado $$ \int_{-\pi}^\pi \frac{\sin[(n+\frac12)t]}{\sin\frac t2}\,dt = \int_{-\pi}^\pi \frac{\sin(nt)}{\sin\frac t2}\cos\frac t2dt = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\sin(2nt)}{\sin t}2\cos t\,dt\,. $$ Ahora la fracción se puede transformar en $$ \frac{\sin(2nt)}{\sin t} = \frac{e^{2nti}-e^{-2nti}}{e^{ti}-e^{-ti}} = \frac{e^{4nti}-1}{e^{2ti}-1} = 1+e^{2ti}+e^{4ti}+\cdots+e^{(4n-2)ti} $$ Lo multiplicamos por $2\cos t=e^{-ti}+e^{ti}$ y obtener para el integrando $$ \frac{\sin(2nt)}{\sin t}2\cos t = e^{-ti}+2e^{ti}+2e^{3ti}+\cdots+2e^{(4n-5)ti}+2e^{(4n-3)ti}+e^{(4n-1)ti}. $$ Además, $$ \int_{-\pi/2}^{\pi/2} e^{kti}dt = \frac2k\sin\frac{k\pi}2, $$ y por lo tanto finalmente obtenemos $$ \int_{-\pi}^\pi \frac{\sin[(n+\frac12)t]}{\sin\frac t2}\,dt =2+4-\frac43+\frac45-\frac47\pm\cdots+\frac{4}{4n-3}-\frac{2}{4n-1} $$ que es obviamente convergente por el criterio de Leibniz y, por tanto, acotado por una constante.

Answer 2

Voy a reemplazar $|\sin t/2|$ por $|t|$ ya que son comparables: $$\frac{|t|}{\pi}\le \left|\sin\frac{t}{2}\right| \le \frac{|t|}{2} \ \text{ for }t\in [-\pi,\pi]$$ Reclamación: para todos $\lambda\ge 1$ $$\frac{1}{3}\log \lambda \le \int_0^\pi \frac{|\sin \lambda t|}{t}\,dt \le \log \lambda +\log \pi +1.$$

Prueba. Para el límite superior, dividir la integral en "pequeños $t$ " y el resto: $$\int_0^{\lambda^{-1}} \frac{|\sin \lambda t|}{t}\,dt \le \int_0^{\lambda^{-1}} \frac{\lambda t}{t}\,dt =1$$ y $$\int_{\lambda^{-1}}^\pi \frac{|\sin \lambda t|}{t}\,dt \le \int_{\lambda^{-1}}^\pi \frac{1}{t}\,dt = \log\lambda + \log \pi$$

El límite inferior necesita un poco más de trabajo. Como el integrando es no negativo, podemos restringir la región de integración al conjunto $|\sin \lambda t|\ge 1/2$ . Este conjunto contiene los intervalos $I_k=[\pi \lambda^{-1} (k+1/6), \pi \lambda^{-1} (k+5/6)]$ para todos los enteros $k$ tal que $0\le k \le \lambda-1$ . La integral sobre $I_k$ es al menos $$ \int_{I_k} \frac{1/2}{t}\,dt \ge |I_k| \frac{1/2}{\pi \lambda^{-1} (k+1)} = \frac{1/3}{k+1} $$ Por lo tanto, la integral está limitada desde abajo por $$\frac13 \sum_{k=0}^{\lfloor \lambda-1\rfloor }\frac{1}{k+1} \ge \frac{1}{3} \log \lambda.$$

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Observación. Si $\|D_n\|_{L^1}=o(\log n)$ si fuera cierto, la estimación de #19 sería válida para la serie de Fourier de cualquier medida finita sobre $[-\pi,\pi]$ . Este no es el caso. El hecho de que $s_n$ proviene de una función continua debe ser utilizado.