Aquí está el sistema inicial: \begin{cases} -x+y+4z= -1 \\ 3x-y+2z=2\\ 2x-2y-8z=2 \end{cases> Comencé realizando $2E1+E3\to E3$. Esto mostró que se cancelaban entre sí y me quedé con $0=0$ para $E3 (esto me llevó a asignar $z$ a $t$). Luego realicé $E1+E2\to E2$ y obtuve $2x+6z=1$ y resolví para $x$, obteniendo $x=-3t+1/2$. Después, simplemente resolví para $y$ y obtuve $y=-3t-1/2$. ¿Todo esto parece estar correcto?
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egreg
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Haría esto de una manera más sistemática: \begin{align} \begin{bmatrix} -1 & 1 & 4 & -1 \\ 3 & -1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & -8 & 2 \end{bmatrix} &\xrightarrow{\substack{E_{31}(-2)\\E_{21}(-3)\\E_1(-1)}} \begin{bmatrix} 1 & -1 & -4 & 1 \\ 0 & 2 & 14 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \\&\xrightarrow{E_2(1/2)} \begin{bmatrix} 1 & -1 & -4 & 1 \\ 0 & 1 & 7 & -1/2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \\&\xrightarrow{E_{12}(1)} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 & 1/2 \\ 0 & 1 & 7 & -1/2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \end{align} Esto reduce el sistema a \begin{cases} x+3z=1/2\\ y+7z=-1/2 \end{cases> y así, estableciendo $z=t$, obtienes \begin{cases} x=\dfrac{1}{2}-3t\\ y=-\dfrac{1}{2}-7t\\[1.5ex] z=t \end{cases}
Con $E_1(-1)$ denoto "multiplica la primera fila por $-1$"; con $E_{21}(-3)$ denoto "suma a la segunda fila la primera multiplicada por $-3$" y similarmente para los demás. Las operaciones son de abajo hacia arriba en el orden en que se realizan.
Hacer el trabajo con matrices debería reducir las posibilidades de cometer errores debido a una lectura incorrecta. En cualquier caso, tiene un método para verificar su solución: sustituya los valores en una de las ecuaciones y vea si realmente obtiene $0$.
Ahaan S. Rungta
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