Método de descensos más pronunciados integral.

Question

Estoy buscando evaluar la siguiente integral asintótica:

Encuentre el término principal de asintóticos como$\lambda\to\infty$

$I(\lambda)=\int_0^1\cos(\lambda x^3)dx$

Utilizando el método de descensos más pronunciados a lo largo de un determinado contorno. Tengo problemas para abordar este problema porque no lo entiendo bien. Cualquier ayuda sería apreciada.

Answer 1

Para empezar, reconocer que

$$ I(\lambda) = \operatorname{Re} \int_0^1 e^{i\lambda x^3}\,dx. $$

Ahora hay varias preguntas que usted puede hacer para ponerse en marcha:

1. Donde es el punto de silla?

2. ¿Cuáles son los caminos de la empinada bajada de distancia desde el punto de silla?

3. ¿Cómo puedo deformar mi contorno, de modo que se sigue por este camino de steepest descent?

El último es un poco complicado ya que los extremos de la curva de nivel son finitos. Usted sólo tiene que seguir una parte de la ruta de steepest descent; usted puede tener el contorno de volver a su inicio/extremo después.

Déjame saber si te quedas atascado en alguna de estas.