Una propiedad del cálculo funcional medible.

Question

Un aparentemente simple de la propiedad de la medibles funcional de cálculo: Deje $A$ ser un auto-adjunto del operador en un espacio de Hilbert $H$ y deje $P$ ser la asociada a la proyección de valores de medida, de tal manera que $A = \int \lambda dP(\lambda)$ y con Borel funcional de cálculo $f \mapsto P(f) = \int f(\lambda) dP(\lambda) =: f(A)$ ($C^\ast$- álgebra hommorphism de la limitada Borel funciones en $\mathbb R$ a la limitada lineal de operadores en $H$.)

¿Cómo podemos ver la propiedad que $Ax = \lambda_0 x$ implica $f(A)x = f(\lambda_0)x$? (para un almacén de Borel función de $f$). Por supuesto, para ello, primero tenemos que mostrar para todas las funciones simples. Pero no me parece una prueba, incluso en el caso de base de $f = 1_\Omega$.

Edit: Ok, creo que mi pregunta se reduce a la siguiente: ¿por Qué es $P(1_\Omega)x = P(\Omega)x = \begin{cases} x \text{ if } \lambda_0 \in \Omega\\ 0 \text{ otherwise} \end{cases}$ bajo el supuesto de que $Ax = \lambda_0 x$?

Answer 1

Usted lo prueba para monomios, luego polinomios, luego funciones continuas. Luego puede usar Luzin para mostrar que si$f $ está limitado a Borel, entonces$f (A) $ es un límite de wot de un% neta$f_j (A) $ con$f_j $ continuo.

Answer 2

Espero su ok para responder a mi propia pregunta (la reducción de uno que me etiquetados con 'Editar'). Me gustaría saber si la siguiente primaria argumento funciona.

La espectral teorema nos dice que hay una proyección de valores de medida $P$ tal que $A = \int \lambda dP(\lambda)$. Para un vector fijo $x$ esto le da un número finito de Borel medida, definida por $\mu_x(\Omega) = \langle x, P(\Omega) x \rangle$. En términos de esto, la forma cuadrática de $A$ está dado por $\langle x, A x \rangle = \int \lambda d\mu_x(\lambda)$.

Desde $A$ es auto-adjunto y $x$ es un autovector de a $A$ al autovalor $\lambda_0$ tenemos, con el funcional caluclus (mencionado en mi pregunta), $0 = \|(A-\lambda_0)x\| = \langle x, (A-\lambda_0)^2 x \rangle = \int_\lambda (\lambda-\lambda_0)^2 d\mu_x$

($d\mu_x$ la asocia espectral medida para el vector $x$) Así, vemos que la medida de $d\mu_x$ junto con peso $(\lambda-\lambda_0)^2$ es el cero de la medida y, por tanto, podemos concluir que $d\mu_x = \gamma d\Theta(\lambda-\lambda_0)$ donde $\gamma$ es una constante y $d\Theta$ es la delta de dirac medida.