Hallar el volumen de agua de la profundidad $x$ de un tanque cónico

Question

Encuentre $V(x)$ si $V(x)$ es el volumen de agua de la profundidad $x$ contenida en un tanque cónico con el vértice hacia abajo. El tanque es $8$ metros de altura y su diámetro en la parte más alta es $6$ metros.

Respuesta:

$V(x)=3\pi\dfrac{x^3}{64}$ .

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Creo que un esbozo de la situación es:

He intentado utilizar la fórmula del volumen cónico: $V=\dfrac{\pi r^2h}{3}$ , donde $r=\dfrac62=3$ y $h=8$ pero luego $V=\dfrac{\pi3^28}3=24\pi$ que 1) no depende de la profundidad y 2) no tiene los mismos coeficientes de la respuesta.

¿Qué estoy haciendo mal?

Gracias.

Answer 1

Su problema es que encontró el volumen del todo tanque cónico, no el agua.

Imagine que toma una sección transversal vertical del tanque:

El volumen del agua viene dado por

$$V = \frac 1 3 \pi r^2 x$$

¿Qué es? $r$ ? Se puede demostrar que el triángulo formado por el agua es similar en el sentido geométrico al triángulo entero. Entonces podemos establecer una proporción:

$$\frac{\text{radius of the tank}}{\text{height of the tank}} = \frac{\text{radius of the water}}{\text{height of the water}} \implies \frac{3}{8} = \frac r x \implies r = \frac 3 8 x$$

Así,

$$V = \frac 1 3 \pi \left( \frac 3 8 x \right)^2 x = \frac 1 3 \cdot \pi \cdot \frac{9}{64} \cdot x^2 \cdot x = \frac{3\pi}{64}x^3$$

que se corresponde con la respuesta.