El primer elemento de una matriz de poder.

Question

Deje $A \in \Bbb R^{n \times n}$ ser el siguiente bloque de la matriz:

$$A:= \begin{bmatrix} a^T & \alpha\\ I_{n-1} & 0_{n-1} \end{bmatrix}$$

donde $a, 0_{n-1} \in \Bbb R^{n-1}$ son vectores y $\alpha$ es un escalar. Entonces, hay una forma cerrada para

$$e_1^T A^k e_1,\quad k\in\Bbb N$$

es decir, la parte superior izquierda del elemento de $A^k$?

Por la forma cerrada, me refiero a algo así como la combinación de sumas de ($\sum$) o productos ($\prod$) o cualquier otra cosa que pueda hacer de problemas para $k$ la ecuación $$e_1^T A^k e_1= 1/2$$ más fácil. Tal $k$ se llama la mitad de la vida de un AR(p) proceso cuyos coeficientes son los de la primera fila de $A$.

Explicación de las series de tiempo de la etiqueta: Este problema surge de la computación de la función impulso respuesta, y por lo tanto la mitad de la vida, de un general AR el proceso.

Edit: $A$ es diagonalisable, no singular, y ha espectral de radio < 1 por lo que vale la pena. Así que una forma numérica para resolver la ecuación de $e_1^T A^k e_1= 1/2$ lo que puedo pensar es en primer lugar, diagonalise como $A=QDQ^{-1}$, entonces podemos definir para cualquier número real $k$de la matriz de potencia $A^k$como $$A^k=QD^kQ^{-1}$$ Y una vez que obtenemos $Q$, $D$ numéricamente, se puede esperar para obtener un polinomio en $\lambda_{1,\cdots, n}^k$ donde $\lambda$ son los autovalores de a$A$, y por lo tanto es solucionable por software.

Answer 1

Si usted está buscando para implementar una solución en software, usted puede hacer lo siguiente. Desea $e_1^TA^ke_1$, que es la primera entrada de $A^ke_1$. Si usted escribe $$A=\begin{bmatrix} a_1&a_2&\cdots&a_n&\alpha \\ 1&0&0&\cdots&0\\ 0&1&0&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\ddots&0\\ 0&0&\cdots&1&0 \end{bmatrix},$$ entonces $$Ax=\begin{bmatrix} \sum_{j=1}^na_jx_j+\alpha x_{n+1}\\ x_1\\ \vdots\\ x_n \end{bmatrix}.$$ Así que si escribimos $z_k$ para la primera entrada de $A^ke_1$ (e $z_j=0$ cuando $j<0$) tenemos la recursividad $$z_{m}=\sum_{j=1}^{n} x_{j}z_{m-j}+\alpha z_{m-n-1}.$$ Esta recursividad es muy fácil de implementar en el software. También se podría intentar resolver la recursividad explícitamente, mirando el polinomio característico (de la recursividad).