Riemann Integrabilidad de funciones compuestas.

Question

La función de $f$ es continua y estrictamente creciente en a$[a,b]$ e $g$ es Riemann integrable tal que $g \circ f$ está definido. Es $g \circ f$ Riemann integrable?

Yo era capaz de mostrar que si $f$ además satisface:
$x_{1}<x_{2} \in [a,b] \Rightarrow f(x_2)-f(x_1) \geq x_{2}-x_{1}$, a continuación, $g \circ f$ es Riemann integrable.

Answer 1

Utilice el siguiente hecho: un almacén de la función en un intervalo cerrado es Riemann integrable si y sólo si el conjunto de discontinuidades tiene medida de Lebesgue cero.

Ahora, hay un conjunto $N$ de medida de Lebesgue cero tal que $g_{|_{[f(a),f(b)]\setminus N}}$ es continua. A continuación, $g\circ f$ es continua en a$[a,b]\setminus N_1$ donde $N_1=\{x\in [a,b]:f(x)\in N\}$. Desde $f$ es estrictamente creciente, $N_1$ también tiene medida de Lebesgue cero. Por lo tanto, $g\circ f_{|_{[a,b]\setminus N_1}}$ es continua y por lo tanto de Riemann integrable.

edit: mi prueba de que está mal. El problema es que "Desde $f$ es estrictamente creciente, $N_1$ también tiene medida de Lebesgue cero" no es cierto. Para encontrar un couterexample, necesitamos una estrictamente creciente función que se asigna a un conjunto de medida positiva para un conjunto de medida cero:

Deje $C$ ser el conjunto de Cantor, $f:[0,1]\to [0,1]$ el Cantor-Lebesgue función, y definir $g:[0,1]\to [0,2]$ por $g(x)=f(x)+x$. A continuación, $g$ es estrictamente creciente, continuo, y los mapas de $C$ a un conjunto de medida positiva. A continuación, $g^{-1}$ es estrictamente creciente, continua y mapas de $g(C)$ a $C$, un conjunto de medida cero.

Para terminar, tomar cualquier función de $f$ cuyo conjunto de discontinuidades que se producen precisamente en los puntos de $C$, por ejemplo, $\chi_C.$ a Continuación, $f$ es Riemann integrable sino $f\circ g^{-1}$ es discontinua en los puntos de $g(C)$, y por lo tanto no es Riemann integrable.