Si$d$ divide$a^4+a^3+2a^2-4a+3$, demuestre que$d$ es un módulo de cuarta potencia$13$

Question

Si $d$ divide $f(a)=a^4+a^3+2a^2-4a+3$, demuestran que, a $d$ es un cuarto poder, el modulo $13$.

$f(a)\equiv{(a-3)}^4\pmod {13}$. Pero, ¿cómo podemos probar que cualquier divisor de $f(a)$ es un cuarto poder? Si podemos demostrar que cualquier divisor primo $p$ de $f(a)$ es un cuarto poder, el modulo $13$, nos llevaría a cabo la cuarta poderes forman un grupo bajo la multiplicación modulo $13$.

Si podemos escribir $f(a)=P(a)^2-13Q(a)^2$ para algunos polinomios $P(a)$ e $Q(a)$, $p$ divide $f(a)$ implica $13$ es un cuadrado modulo $p$ y la reciprocidad cuadrática implicará $p$ es un cuadrado modulo $13$. No pude encontrar adecuado $P(a)$ e $Q(a)$ pero creo que esto va a ayudar. Para demostrar cuarto poder, creo que el cuarto grado de reciprocidad va a ayudar, pero no sé.

Cualquier ayuda será apreciada.

Answer 1

La observación clave es que $K = \mathbf{Q}[x]/f(x)$ no sólo es de Galois, pero es el grado $4$ subcampo de $\mathbf{Q}(\zeta)$, donde $\zeta$ es un 13 de la raíz de la unidad. Explícitamente, las raíces se $\zeta^n + \zeta^{3n} + \zeta^{9n}$ donde $n = 1,2,4,8$. El grupo de Galois es

$$G:=\mathrm{Gal}(K/\mathbf{Q})= (\mathbf{Z}/13 \mathbf{Z})^{\times}/\langle 3 \rangle \simeq \mathbf{Z}/4 \mathbf{Z},$$

donde $[a] \in G$ es el elemento que envía a$\zeta$ a $\zeta^a$. Tenga en cuenta que el subgrupo $\langle 3 \rangle$ es, precisamente, el subgrupo de $4$th poderes modulo $13$. Si $p$ divide $f(a)$, a continuación, $p$ se divide completamente en $K$ (como es de Galois). Eso significa que el Frobenius elemento de a $p$ es trivial. Pero el Frobenius elemento envía $\zeta \mapsto \zeta^p$, por lo que para que esto sea trivial $p \in \langle 3 \rangle$ o, equivalentemente, $p$ debe ser un $4$th poder.

Vemos de este argumento que el de los números primos $p$ dividiendo $f(a)$ son exactamente los números primos que se $4$th poderes modulo $13$.