Prueba $\; \ln k \geq \int_ {k- \frac {1}{2}}^{k+ \frac {1}{2}} \ln x dx$

Question

Estoy tratando de probar $$ \ln k \geq \int_ {k- \frac {1}{2}}^{k+ \frac {1}{2}} \ln x dx$$

En otras palabras, estoy tratando de mostrar por qué el área del rectángulo con altura $ \ln k$ y el ancho $1$ limita el área bajo el gráfico de $f(x)= \ln x$ en el intervalo $[k- \frac {1}{2},k+ \frac {1}{2}].$

Intenté integrarme pero me quedé atascado. ¿Alguna idea para una prueba elegante de esto?

Answer 1

El logaritmo es una función cóncava, por La desigualdad de Jensen ,

$$ \ln E \left ( U \right ) \ge E \left ( \ln (U) \right )$$

donde $U \sim Uni \left ( k- \frac12 , k+ \frac12\right )$ .

$$ \ln k \ge \int_ {k- \frac12 }^{k+ \frac12 } \ln (x)\, dx$$

Answer 2

Pista: Tengan en cuenta que $ \ln $ es cóncavo. Generalmente se puede mostrar que para las funciones cóncavas $f$ Tenemos $$f \left ( \frac {a+b}{2} \right ) \ge \frac {1}{b-a} \int_a ^b f(x)\, dx.$$ (Esta es una forma continua de La desigualdad de Jensen .)

Answer 3

Demasiado largo para un comentario pero escrito para su curiosidad.

Recibiste buenas respuestas, así que debería usar la integración para ilustrar. Ya que, usando una integración por partes, $$ \int \log (x)=(x-1) \log (x)$$ usando los límites dados, el rhs es $$ \text {rhs}= \left ( \frac {1}{2} (2 k+1) \left ( \log \left (k+ \frac {1}{2} \right )-1 \right ) \right )- \left ( \frac {1}{2} (2 k-1) \left ( \log \left (k- \frac {1}{2} \right )-1 \right ) \right )$$ Considerando al menos que $k$ puede ser grande, usando expansiones de Taylor, $$ \text {rhs}= \log (k)- \sum_ {n=1}^ \infty \frac {c_n}{k^{2n}}$$ y todos los coeficientes $c_n$ son negativos. Sus recíprocos son $$\{24,320,2688,18432,112640,638976,3440640,17825792,89653248,440401920\}$$ y están relacionados con los coeficientes de los polinomios de Chebyshev $$c_n= \frac {2^{-(2 n+1)} } { n (2 n+1) }$$