Torceduras no triviales de un paquete de vectores

Question

Deje $k$ ser un campo de número, y deje $X$ ser un proyectiva $k$-variedad. Deje $\mathcal{V}$ ser un vector paquete en la $X$ que se define más de $k$. Un vector paquete de $\mathcal{V}'$ a $X$ que se define más de $k$ se dice que es un giro de $\mathcal{V}$ si hay alguna extensión finita $\ell/k$ de tal manera que tenemos un isomorfismo $\mathcal{V}_\ell \simeq \mathcal{V}'_\ell$ de paquetes sobre basechanging a $\ell$.

Pregunta: ¿Es cierto que todos los giros de la $\mathcal{V}$ son de hecho isomorfo a $\mathcal{V}$ sobre $k$?

Lo que yo sé: Giros son parametrizadas por el Galois cohomology grupo $H^1(\operatorname{Gal}(\overline{k}/k),\operatorname{Aut}(\cal{V}_{\overline{k}}))$, por lo que todo lo que tenemos que hacer es determinar si este cohomology de grupo es igual a $0$. Es una consecuencia de Hilbert Teorema de los 90 que $H^1(\operatorname{Gal}(\overline{k}/k),\operatorname{GL}_n(\overline{k})) = 0$, lo que podría ser útil.

Answer 1

$\newcommand{\GL}{\mathrm{GL}}$$\newcommand{\ov}[1]{\overline{#1}}$$\newcommand{\h}{\mathcal{O}}$$\newcommand{\Aut}{\mathrm{Aut}}$$\newcommand{\Gal}{\mathrm{Gal}}$$\newcommand{\Hom}{\mathrm{Hom}}$$\newcommand{\A}{\mathbb{A}}$ Gracias a una conversación muy útil con mi amigo P. Achinger aquí es una solución suponiendo que $X$ es geométricamente integral (él tiene una prueba incluso cuando $X$ es sólo adecuado y $k$ es infinito, pero a continuación es una versión simplificada, en el caso de que la geometría integral de caso cuando se $k$ es infinito).

Suponga que $k$ es infinito.

Paso 1: La afirmación es verdadera para la línea de paquetes. De hecho, si $L_{\ov{k}}\cong L'_{\ov{k}}$ entonces $(L\otimes L^{-1})_{\ov{k}}\cong (\h_X)_{\ov{k}}$. Pero, entonces se define una clase de $H^1(\Gal(\ov{k}/k),\Aut(\h_{X_{\ov{k}}}))=H^1(\Gal(\ov{k}/k),\ov{k}^\times)=0$. De ello se desprende que $L\cong L'$.

Paso 2: Deje $V$ e $V'$ ser vector de paquetes en $X$ tal que $V_{\ov{k}}\cong V'_{\ov{k}}$. Nota luego de que $\det(V)_{\ov{k}}\cong \det(V')_{\ov{k}}$ , de modo que, por el Paso 1, tenemos que $\det(V)\cong \det(V')$. Veamos ahora el functor $R\mapsto \Hom(V_R,V'_R)$. Tenga en cuenta que por la plana de cambio de base, tenemos que este functor coincide con $R\mapsto \Hom(V,V')\otimes_k R$ y por lo tanto coincide con $\A^n_k$ donde $n:=\dim \Hom(V,V')$ (que es finito-dimensional desde $X$ es adecuada). Deje $U\subseteq \A^n_k$ se define como el functor $$U(R)=\{f\in\Hom(V_R,V'_R):f\text{ isomorphism}\}$$

Pretendemos que este es un espacio abierto de subscheme de $\A^n_k$. De hecho, tenga en cuenta que tenemos un functorial mapa

$$\begin{aligned}\A^n_k =&\Hom(V,V')\to\Hom(\det(V),\det(V))=\A^1_k\\ &:\varphi\mapsto\det(\varphi)\end{aligned}$$

(Donde hemos usado el hecho de que $X$ es geométricamente integral para identificar este último término con $\A^1_k$). Es claro, entonces, que $U$ es el abrir subscheme de $\A^n_k$ obtenido como la preimagen de

$$\mathbb{G}_m\subseteq \A^1_k=\Hom(\det(V),\det(V))$$

Ahora, por supuesto, tenemos que $U(\ov{k})\ne \varnothing$ , de modo que $U$ no está vacía. Esto implica, desde el $k$ es infinito, que $U(k)\ne \varnothing$el (e.g ver esta). Por lo tanto, $V\cong V'$.

EDIT: he Aquí una prueba de que funciona al $k$ es finito, y por lo tanto se cubren todos los casos.

Nos deja denotar por $G_V$ el esquema de grupo de más de $k$ dado por $R\mapsto \Aut(V_R)$. Tenga en cuenta que, como en el anterior, tenemos que $G_V$ es una subscheme de la functor $R\mapsto \mathrm{End}(V_R)$ que se identifica con $\A^n_k$ donde $n:=\dim\mathrm{End}(V)$. En particular, desde la $\A^n_k$ es irreductible, podemos deducir que $G_V$ está conectado.

Nota entonces que, dado que los giros de la $V$ son clasificados por $H^1_\mathrm{et}(\mathrm{Spec}(k),G_V)$ es suficiente para demostrar que este último cohomology grupo es cero. Desde $G_V$ está conectado de esta manera se sigue de Lang del Teorema.

Comentario: Es todavía un poco milagroso que aunque el grupo $G_V:R\mapsto \mathrm{Aut}(V_R)$ es misterioso (al menos para mí) podemos comprobar que la $H^1_\mathrm{et}(\mathrm{Spec}(k),G_V)=0$. ¿Alguien tiene algo importante para decir acerca de la estructura del grupo de $G_V$? Es afín? Es reductiva (tenga en cuenta que no puede ser semisimple porque tenemos una central de incrustación de $\mathbb{G}_m$ a $G_V$)? Si es así, es un split? Por ejemplo, lo que hizo que la línea de lote caso tan simple es que para cualquier línea de paquete de $L$ tenemos que $G_L\cong\mathbb{G}_m$. A menos que cometí un error, parece que eso no tiene por qué ser reductiva en general, ya que algunos de los ejemplos en $\mathbb{P}^1$ me llevan a creer que usted puede conseguir cosas como parabólico grupos en $\GL_n$.