Una pequeña duda sobre el teorema de convergencia dominado.

Question

Teorema $\mathbf{A.2.11}$ (Dominado convergencia). Deje $f_n : X \to \mathbb R$ ser una secuencia de funciones medibles y supongamos que existe una función integrable $g : X \to \mathbb R$ tal que $|f_n(x)| \leq |g(x)|$ para $\mu$-casi todos los $x$ en $X$. Supongamos, además, que la secuencia de $(f_n)_n$ converge en $\mu$-casi todos los puntos a alguna función $f : X \to \mathbb R$. A continuación, $f$ es integrable y satisface $$\lim_n \int f_n \, d\mu = \int f \, d\mu.$$

Quería saber si en la hipótesis de $|f_n(x)| \leq|g(x)|$ anterior, si ya sé que cada una de las $f_n$ es integrable, además convergente, el teorema sigue siendo válido? Sin yo tener que encontrar esta $g$ integrable?

Answer 1

Esta es una excelente pregunta. Por el teorema de aplicar, usted necesita el $f_n$'s para ser uniformemente dominado por una función integrable $g$. Para ver esto, considere la secuencia $$ f_n(x) := \frac{1}{n} \mathbf{1}_{[0,n]}(x). $$ Claramente, $f_n \in L^1(\mathbb{R})$ por cada $n \in \mathbb{N}$. Por otra parte, $f_n(x) \to 0$ como $n \to \infty$ por cada $x \in \mathbb{R}$. Sin embargo, \begin{align*} \lim_{n \to \infty} \int_{\mathbb{R}} f_n\,\mathrm{d}m = \lim_{n \to \infty} \int_0^n \frac{1}{n}\,\mathrm{d}x = 1 \neq 0. \end{align*}

Sin embargo, no es usted demasiado problema si usted no puede encontrar una función dominante. Si la secuencia de sus funciones es uniformemente acotada en $L^p(E)$ para $1 < p < \infty$ donde $E$ tiene medida finita, entonces usted todavía puede tomar el límite dentro de la integral. Es decir, el siguiente teorema a menudo ayuda a rectificar la situación.

Teorema. Deje $(f_n)$ ser una secuencia de funciones medibles en una medida de espacio $(X,\mathfrak{M},\mu)$ convergencia en casi todas partes es una función medible $f$. Si $E \in \mathfrak{M}$ tiene medida finita y $(f_n)$ está delimitado en $L^p(E)$ para algunos $1 < p < \infty$, luego $$ \lim_{n \to \infty} \int_E f_n\,\mathrm{d}\mu = \int_E f\,\mathrm{d}\mu. $$ De hecho, uno ha $f_n \to f$ fuertemente en $L^1(E)$.

En un sentido, se puede hacer sin un dominador de la función cuando la secuencia es uniformemente acotada en un "mayor $L^p$-espacio" y el dominio de integración tiene medida finita.

Answer 2

En general, no es suficiente que cada uno de los $f_n$ ser integrable sin un dominador de la función. Por ejemplo, las funciones de $f_n = \chi_{[n,n+1]}$ a $\mathbf R_{\ge 0}$ son todos integrable, y $f_n(x) \to 0$ para todos los $x\in \mathbf R_{\ge 0}$, pero no son dominados por una función integrable $g$, y de hecho lo hacemos notiene $$ \lim_{n\to\infty} \int f_n = \int \lim_{n\to\infty}f_n $$ ya que en este caso, el lado izquierdo es $1$, pero el lado derecho es $0$.

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Para ver por qué no hay que domina la función de $g$, una función que tienen la propiedad de que $g(x)\ge 1$ por cada $x\ge 0$, de modo que no es integrable en a$\mathbf R_{\ge 0}$.