La organización de gatos y perros: ¿qué hay de malo con mi enfoque?

Question

Tenemos 4 perros y 3 gatos en una línea, pero no hay dos gatos pueden estar juntos, ¿en cuántas formas pueden ser arreglados?

Dado que hay 5 espacios a los gatos puede ser con los perros fijo, se ${5 \choose 3} * 4! * 3! = 1440$ maneras y esta es la respuesta correcta.

Pensé que de un enfoque diferente. En vez de arreglar los perros lugares, me fijo en los lugares de los gatos. Ahora, tenemos 4 plazas, de las cuales las dos espacios en el medio debe ser llenado. Por lo tanto, de los 4 perros, 2 debe llenar esos, y no se $4 * 3$ maneras de hacer esto (ya que un perro debe ser elegido para ocupar un espacio mediano y el otro, para llenar el segundo, pero ahora sólo hay 3 perros a la izquierda).

Los otros dos perros son libres de ir a cualquiera de los 4 espacios, con $4^2$ posibilidades.

Los gatos pueden ahora ser dispuestos en $3!$ maneras.

Por lo tanto, nuestra respuesta final debe ser $3! * 4^2 * 4 * 3 = 1152$

Donde he ido mal?

Answer 1

El segundo cálculo es la falta de una simetría. Dicen que su patrón inicial es $$\underline {\quad}C_1\underline {\quad}C_2\underline {\quad}C_3\underline {\quad}$$

Usted, a continuación, rellenar los espacios inmediatamente a la derecha de $C_1$, e $C_2$. Como:

$$\underline {\quad}C_1D_1\underline {\quad}C_2D_2\underline {\quad}C_3\underline {\quad}$$

Hasta ahora tan bueno. Usted todavía tiene $D_3,D_4$ a lugar. ¿Dónde pueden ir? Cierto, cada uno puede ir a cualquiera de los cuatro espacios, pero si, digamos, ambos van a la primer espacio, el orden en que van?

Tomando los dos órdenes posibles en cuenta, vemos que le falta a$$4\times 3!\times 4\times 3=288$$ de los casos. La adición de nuevo le da el resultado deseado.

Reescribirse de manera diferente: una vez que se han colocado $D_3$ ahora hay cinco espacios disponibles para $D_4$ (desde $D_4$ podría ir ya sea a la izquierda o a la derecha de $D_3$). así que debería haber tenido $$3!\times 4\times 5\times 4\times 3=1440$$

Answer 2

Puede separar los dos casos para los dos últimos perros: perros solteros y perros dobles.

Perros individuales: $$P(4,2)=\frac{4!}{2!}=12.$ $ Perros dobles: $$P(2,2)\cdot C(4,1)=2\cdot 4=8.$ $ Por lo tanto, hay $12+8=20$ (no $4^2=16$ ) formas de distribuir los dos últimos perros.

La respuesta final es: $$3!\cdot 20\cdot 4\cdot 3=1440.$ $