Esta identidad se publicó un tiempo atrás, pero la pregunta había sido cerrada, la pregunta no se preguntó elaboradamente, a pesar de que la prueba de la identidad es una buena aplicación de la combinatoria y un buen ejemplo para referencia en el futuro.
Además, sólo había una respuesta equivocada que había un par de upvotes, así que decidí darle mi propia prueba posible y una especie de 'abrir' la pregunta que estaba a la izquierda. Esperemos que esta vez la pregunta es de contexto suficiente para mantenerse con vida.
Como una nota al margen: el dado del lado derecho no aparece simétrica entre $k$ e $n$. Sin embargo, cuando se $\binom{m}{2}=m(m-1)/2$ es insertado y los productos se ha ampliado, sólo simétrica términos permanecen condonada. De representación en el lado derecho como $k^2\binom{n}{2}+n\binom{k}{2}$ daría el mismo cancelaciones y el mismo valor neto.
Prueba
Supongamos que usted tiene una cuadrícula de $n\times k$ puntos. En primer lugar, la cantidad de maneras de conectar dos puntos es $\binom{nk}{2}$. Ahora, considere el lado derecho. Podemos dividir los casos para los que la conecta los puntos están en la misma columna, en la fila, o se encuentran en diferentes columnas y filas.
Si los dos puntos están en la misma columna, se puede elegir entre dos puntos de dos filas diferentes en $\binom{n}{2}$ formas, y tenemos $k$ columnas para que los dos puntos pueden estar en la misma columna, lo que da un total de $k\binom{n}{2}$ opciones. El mismo argumento vale para la constante de filas: $n\binom{k}{2}$.
Ahora si ni el de fila ni de columna puede permanecer constante, se puede escoger cualquier punto en $nk$ formas, y seleccione el segundo punto del resto de las $(n-1)(k-1)$ puntos; una columna y una fila no estará disponible. Esto nos da $\frac{nk(n-1)(k-1)}{2}$ opciones, como hemos de descartar la doble contabilización.
Ahora vamos a mostrar (algebraicamente) que $n\binom{k}{2}+\frac{nk(n-1)(k-1)}{2}=n^2\binom{k}{2}$. Tenemos que $\binom{k}{2}=\frac{k(k-1)}{2} =\frac{nk(n-1)(k-1)}{2n(n-1)} \iff n(n-1)\binom{k}{2}=\frac{nk(n-1)(k-1)}{2}=n^2\binom{k}{2}-n\binom{k}{2}$ lo que conduce a la ecuación anterior.
La combinación de estos casos da $\binom{nk}{2}=k\binom{n}{2}+n\binom{k}{2}+\frac{nk(n-1)(k-1)}{2} = k\binom{n}{2}+n^2\binom{k}{2}$
Si hay errores o mejoras en los argumentos, por favor siéntase libre de punto.
