He encontrado varias referencias a la idea de que para actualizar una ley de la física a la relatividad general lo único que hay que hacer es sustituir cualquier derivada parcial por una derivada covariante.
Entiendo que las derivadas covariantes se convierten en derivadas parciales en el espacio de Minkowski, sin embargo, ¿es la inversa única? ¿No hay ninguna otra operación tensorial que se convierta en una derivada parcial / si es así por qué no las mencionamos?
La transformación de las derivadas parciales en derivadas covariantes al pasar de Minkowski a un espaciotiempo general es sólo una regla general, y no debe aplicarse sin cuidado.
Por ejemplo, al estudiar el electromagnetismo en el gauge de Lorenz $(\nabla_\mu A^\mu =0)$ Trabajando a partir de los primeros principios, se puede demostrar que la ecuación de onda inhomogénea se lee:
$$\nabla_\nu \nabla^\nu A^\mu - R^\mu_{\,\,\nu} A^\nu = -j^\mu$$
mientras que en Minkowski la misma ecuación se lee:
$$\partial_\nu \partial^\nu A^\mu = -j^\mu$$
Si utilizamos $\partial\rightarrow\nabla$ no encontraríamos la contribución del término de curvatura. Aunque en general el $\partial\rightarrow\nabla$ podría funcionar, para estar seguro deberías intentar derivar las reglas físicas utilizando un enfoque covariante (por ejemplo, a partir de un principio de acción).
Tienes razón en que no es único. La regla que mencionas se llama acoplamiento mínimo. Es similar a la del electromagnetismo cuando sustituimos $p_{\mu}$ por $p_{\mu} - eA_{\mu}$ en nuestras ecuaciones de primer orden. Este es el enfoque más sencillo que se puede adoptar, en el que simplemente se añade un término que describe, por ejemplo, el electromagnetismo, a la acción, y luego simplemente se acopla a la gravedad a través de la métrica en el elemento de volumen.
Hay otras formas de hacerlo, por ejemplo, contrayendo el tensor de Ricci con el tensor de intensidad de campo, pero no son mínimas. Hacemos elecciones como éstas todo el tiempo, incluso al elegir la forma de la conexión en la derivada covariante. Así que la respuesta al final es que esta aproximación mínima concuerda con el experimento hasta sus precisiones actuales, así que ¿por qué complicar las cosas?
He encontrado varias referencias a la idea de que para actualizar una ley de la física a la relatividad general lo único que hay que hacer es sustituir cualquier derivada parcial por una derivada covariante.
Tal vez, pero en mi opinión es una idea equivocada. Las derivadas covariantes son necesarias en SR también, si se desea utilizar coordenadas arbitrarias. Lo cual está completamente permitido aunque generalmente es inconveniente. Pero hay excepciones - ver por ejemplo las coordenadas de Rindler.
Por supuesto, en un espaciotiempo curvo estás obligado a utilizar coordenadas en las que la métrica adopta una forma complicada, simplemente porque no existe un sistema de coordenadas que diagonalice el tensor métrico a componentes constantes en una región finita. Entonces la derivada covariante es una herramienta imprescindible.
Pero no hay garantía de que sea un método suficiente para obtener las leyes físicas correctas en RG. @DanielC ya dio un ejemplo clásico.
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