Si$f$ a es una función y$A$ es un conjunto, ¿qué podría hacer la notación?
PS
¿media? ¿Es quizás "restringido para establecer$$f|_A$"?
Respuestas
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BrianB
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Intuitivamente hablando, una función de $f$ está constituido de tres ingredientes:
- un dominio;
- un codominio;
- una regla (que, para cada elemento en el dominio, se le asigna un único elemento en el codominio).
Si cambiamos cualquiera de estos tres ingredientes, se obtiene una función diferente. En particular, si queremos cambiar el dominio por un subconjunto $A$ del dominio original (manteniendo el codominio y el estado), obtenemos una nueva función, la cual es representada por $f|_A$.
En otras palabras: dada una función de $f:X\to Y$ y un conjunto $A\subset X$, la notación $f|_A$ denota la función $g:A\to Y$ dada por $$g(x)=f(x),\quad \forall \ x\in A.$$
Este es el significado usual pero, tal vez, hay significados diferentes en otros contextos.
Albas
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goblin
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Eso es correcto.
Supongamos que tenemos una función $$f : Y \leftarrow X,$$ and a subset $Un$ of $X$.
Se aproxima a 0. A continuación, $f \restriction_A$ se define como la única función de $Y \leftarrow A$ que está de acuerdo con $f$$A$. Que es: $$\mathop{\forall}_{a \in A} ((f \restriction_A)(a) = f(a))$$
Sin embargo, hay un modo más limpio de la formalización de este.
Enfoque 1. Escribir $$\mathrm{incl}_A : X \leftarrow A$$ for the inclusion of $Un$ into $X$. Then we can form the composite $$f \circ \mathrm{incl}_A : Y \leftarrow A.$$ Write $f\restriction_A$ como una abreviación de este compuesto.
La cosa agradable sobre el Enfoque 1 es que hace demostrando las propiedades básicas de la restricción de operador trivial. En particular:
La reclamación. $(g \circ f)\restriction_A = g \circ (f \restriction_A)$
Prueba.
$$(g \circ f)\restriction_A = (g \circ f) \circ \mathrm{incl}_A = g \circ (f \circ \mathrm{incl}_A) = g \circ (f \restriction_A)$$
Enfoque 1 es especialmente atractivo de una categoría-la teoría de la perspectiva. En ese contexto:
- $X$ es un objeto de alguna categoría
- un subobjeto de $X$ es, por definición, un objeto $\underline{A}$ junto con un monomorphism $\mathrm{incl}_A : X \leftarrow \underline{A}$.
- un parcial de morfismos $Y \leftarrow X$ se compone de un subobjeto $A$ $X$ junto con un morfismos $Y \leftarrow \underline{A}$.
Por lo tanto, si se nos da un morfismos $f : Y \leftarrow X$ y un subobjeto $A$$X$, entonces conseguimos un parcial de morfismos $f \restriction_A : Y \leftarrow X$ mediante la formación de la obvia compuesto.
Daniel W. Farlow
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La notación $f|_A$ es probablemente entienden mejor a través de un ejemplo significativo. Antes de dar uno (espero que sea útil, de todos modos), probablemente sería bueno consultar a dos decente referencias:
1) la página de La Wikipedia sobre la restricción de una función.
2) Álgebra Abstracta por Dummit y Foote (p. 3, 3a Ed.).
La parte pertinente de la Wiki de propaganda:
Deje $f\colon E\to F$ ser una función de un conjunto $E$ a un conjunto $F$, por lo que el dominio de la $f$ $E$ (es decir, $\operatorname{dom}f\subseteq E$). Si $A\subseteq E$, entonces la restricción de $f$ $A$ es la función de $f|_A\colon A\to F$.
De manera informal, la restricción de $f$ $A$es la misma función como $f$, pero sólo está definida en $A\cap\operatorname{dom} f$.
De la Wiki "informal" observación es la clave de la parte, en mi opinión. El siguiente fragmento de Dummit y Foote del Álgebra Abstracta puede ser un poco más abstracto, pero creo que un ejemplo significativo, se borrará todo.
Si $A\subseteq B$, e $f\colon B\to C$, se denota la restricción de $f$$A$$f|_A$. Cuando el dominio que estamos considerando es entendido vamos ocasionalmente denotar $f|_A$ nuevo, simplemente como $f$, incluso a pesar de que estos son formalmente diferentes funciones (sus dominios son diferentes).
Si $A\subseteq B$ $g\colon A\to C$ y hay una función de $f\colon B\to C$ tal que $f|_A=g$, vamos a decir $f$ es una extensión de $g$ $B$(un mapa de $f$ no tiene que existir ni ser único).
Ejemplo: Vamos a $g\colon\mathbb{Z}^+\to\{1\}$ ser definido por $g(x)=1$ y deje $f\colon\mathbb{Z}\setminus\{0\}\to\{1\}$ ser definido por $f(x)=\dfrac{|x|}{x}$. Usando la notación de la segunda párrafo anterior, se ha $g\colon A\to C$$f\colon B\to C$, donde
- $A = \mathbb{Z^+}$
- $B=\mathbb{Z}\setminus\{0\}$
- $C=\{1\}$
y, claramente, $A\subseteq B$. Así, tenemos las siguientes: \begin{align} f|_A &\equiv f\colon\mathbb{Z^+}\to\{1\}\tag{by definition}\\[0.5em] &= \frac{|x|}{x}\tag{by definition}\\[0.5em] &= \frac{x}{x}\tag{if %#%#%, then %#%#% }\\[0.5em] &= 1\tag{simplify}\\[0.5em] &\equiv g\colon\mathbb{Z^+}\to\{1\}\tag{by definition}\\[0.5em] &= g. \end{align} Aparte de algunos pequeños signos de notación abuso, tal vez, el ejemplo anterior muestra que el $x\in\mathbb{Z^+}$ es una extensión de $|x|=x$ $f$desde $g$.
