Supongamos que$X$ es un espacio topológico,$Y$ es un espacio métrico,$f$ es una función de$X$ a$Y$, y$\{f_n\}$ es un secuencia de funciones continuas de$X$ a$Y$ que converge uniformemente a$f$ en todos los subconjuntos compactos de$X$. ¿Debe$f$ ser continuo?
Respuestas
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He aquí un Hausdorff $-$, de hecho, perfectamente normal $-$ contraejemplo.
Deje $X=\{p\}\cup(\omega\times\omega)$ donde $p\notin\omega\times\omega$. Para $n\in\omega$ deje $V_n=\{n\}\times\omega$. Topologize $X$ como sigue: puntos de $\omega\times\omega$ son aislados, y un conjunto $U\subseteq X$ es un nbhd de $p$ fib $p\in U$ y hay un $m\in\omega$ tal que $V_n\setminus U$ es finito para cada una de las $n\ge m$. (En otras palabras, $U$ debe contener todos, pero un número finito de puntos de todos, pero un número finito de la 'columnas' $V_n$.) El compacto de subconjuntos de a $X$ son precisamente los subconjuntos finitos. Que $X$ es perfectamente normal que se sigue del hecho de que es cero-dimensional, ya que tiene un clopen base. (Esta $X$ es a veces conocido como el Arens-Fort espacio.)
Deje $Y=\{0,1\}$ con la métrica heredado de $\mathbb{R}$. Para $k\in\omega$ definir $f_k:X\to Y$ como sigue: $$\begin{align*} f_k(p)&= 0\\ f_k(\langle n,m\rangle)&=\begin{cases} 1,&n\le k\\ 0,&n>k\;. \end{casos} \end{align*}$$
A continuación, $\langle f_k:k\in\omega\rangle$ converge uniformemente en compactos de los conjuntos de la función $g:X\to Y$ $g(p)=0$ $g(\langle n,m\rangle)=1$ todos los $\langle n,m\rangle\in\omega$, lo que claramente es discontinua en a $p$.
Matt Dawdy
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$f$ es claramente continua en todos los subconjuntos compactos de $X$, así que esto es cierto siempre que $X$ es generado de forma compacta, que incluye la mayoría de los casos de interés práctico.
Es falso en general. Deje $X$ ser un innumerable conjunto equipado con el cocountable topología (el cerrado subconjuntos son precisamente los que en la mayoría de los contables de subconjuntos de e $X$). El compacto de los subconjuntos son precisamente los subconjuntos finitos (ejercicio), cada uno de los cuales tiene la topología discreta, por lo tanto cada función del $f$ es continua en el compacto subconjuntos, y una secuencia de funciones de $f_n : X \to Y$ converge uniformemente a $f$ sobre subconjuntos compactos si y sólo si converge pointwise a $f$. No es difícil construir un contraejemplo a partir de aquí.
Mentí; mi elección de $X$ por encima no puede conducir a un contraejemplo. El problema es que la preimagen de cada conjunto abierto en $Y$ debe ser un cocountable subconjunto de $X$, por lo que si $Y$ es un espacio de Hausdorff con más de un punto en el que, hay dos abiertos disjuntos subconjuntos $U, V$ $Y$ cuyo preimages en $X$ no puede ser distinto, por lo que cada función continua de $X$ a un espacio de Hausdorff es constante.
