Probar que la función Delta de Dirac satisface$ x\frac{\mathrm{d} \delta(x)}{\mathrm{d} x} = -\delta(x) $

Question

$ x\frac{\mathrm{d} \delta(x)}{\mathrm{d} x} = -\delta(x)$

Me han dicho que esta respuesta implica la integración por partes. Comencé así:

$\int x\frac{\mathrm{d} \delta(x)}{\mathrm{d} x} = x\delta(x) - \int\delta(x)$

o

$ x\frac{\mathrm{d} \delta(x)}{\mathrm{d} x} = \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(x\delta(x)) - \delta(x)$

Así que parece que todo lo que tengo que hacer es mostrar que$x\delta(x) =0$ o$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}( x\delta(x)) =0$

EDITAR: Pero$x\delta(x) =0$ cuando$x=0$ y también cuando$x$ es cualquier otro número. Así que acabo de responder mi propia pregunta tonta.

Griffiths. Introducción a la electrodinámica. Tercera edición página 49. Problema 1.45 parte a.

Answer 1

Veamos $(\delta'(x)x,\psi(x))$

Donde $\psi(x)$ es un ensayo adecuado de la función y (,) denota el producto interior (recuerde que nos puede interpretar una distribución como un funcional lineal sobre el espacio de funciones de prueba), entonces podemos aplicar la regla general $(\delta', f)=-(\delta, f')$.

Además podemos empujar $x$ o, más en general cualquier función suave en el over (aproximadamente hablando, porque esto le da otra) y así obtenemos:

$$ (\delta'(x)x,\psi(x))=-(\delta(x),(x \psi(x))')=-(\delta(x),\psi(x)+x \psi'(x))=-(\delta(x),\psi(x))+\underbrace{(\delta(x),x\psi'(x))}_{y=0} $$

la última ecuación se deduce del hecho de que $x\psi'(x)$ es de nuevo un over con el propertiy $0\psi'(0)=0$ y, por tanto, $(\delta,0)=0$

Tal vez deberíamos añadir el punto, que cada over es acotado, por lo que mi última línea es realmente justificado ahora :)

Editar:

Para hacer esta respuesta mirada en poco más "física" se reemplaza el producto interior por $\int dx$ entonces todo debería mirar un poco más familiar... Además sólo piensa en el presente de la prueba de funciones como las funciones que son como "bien comportado" como sea necesario para permitir que todos los manipilations

Answer 2

Todo lo que usted sabe acerca de la distribución trata de cómo actúa sobre las funciones de prueba. Así que si usted desea probar nada acerca de las distribuciones, se debe utilizar un arbitrario de la función de prueba, decir $\phi$. En términos de intuición física, tiendo a pensar en una distribución como un objeto con algún desconocido propiedades y las funciones de prueba como "observaciones" del objeto, como la de los hombres ciegos y el elefante. YMMV de curso.

La definición de la derivada de una distribución $f$ proviene de la integración por partes: $f'(\phi)(x) = - f(\phi')(x)$. Desde la integración por partes proviene de la regla del producto y (usted debe probar este) de la distribución de derivados de satisfacer la regla del producto, se debe sospechar algo como: $$ \frac{d}{dx}(x\delta) = \delta + x\frac{d\delta}{dx}$$ Así que ahora, como usted puede observar, $$(x\delta)(\phi)(x) = \int x\delta\phi\ dx = \int \delta x\phi\ dx = (x\phi)(0) = 0.$$

(Que en su mayoría respondieron esta opción para agregar un poco de historia y filosofía acerca de las distribuciones.)