Vamos a necesitar un poco de fondo para explicar esto. Se describe la expansión del universo por un factor de escala, que escribimos como $a(t)$. Tenga en cuenta que este factor de escala es una función del tiempo, y por convención que establece el factor de escala para tener el valor de uno ahora mismo.
Supongamos que tenemos algún par de puntos en el espacio que están a una distancia de $d_0$ aparte ahora. El factor de escala nos dice cómo la distancia entre estos puntos de cambios con el tiempo:
$$ \ell(t) = \ell_0\,a(t) \tag{1} $$
Como he dicho anteriormente, el valor actual del factor de escala es $a(\text{now})=1$ y si ponemos esto en la ecuación (1) obtenemos:
$$ \ell(\text{now}) = \ell_0 \times a(\text{now}) = \ell_0 \times 1 = \ell_0 $$
Hasta ahora tan bueno. En un universo en expansión el factor de escala es creciente con el tiempo, es decir, $a(\text{tomorrow}) \gt a(\text{now})$ significa que:
$$ \ell(\text{tomorrow}) = \ell_0 \times a(\text{tomorrow}) \gt \ell_0 $$
De manera que la distancia $\ell$ entre nuestros puntos aumenta con el tiempo, y esto es lo que queremos decir cuando decimos que el universo se está expandiendo.
Si queremos saber la velocidad a la que nuestro aumentos de longitud podemos diferenciar $\ell$ con respecto al tiempo:
$$ \frac{d\ell}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\ell_0\,a(t)\right) = \ell_0\frac{da}{dt} $$
Y si queremos saber la velocidad a la que el cambio de longitud es la aceleración podemos diferenciar de nuevo:
$$ \frac{d^2\ell}{dt^2} = \ell_0\frac{d^2a}{dt^2} $$
Por brevedad podemos escribir la $d^2a/dt^2$ $\ddot{a}$ y eso es lo que voy a hacer de aquí en adelante.
De todos modos, el punto es que si tenemos en cuenta algunos imaginario de la varilla de medición de longitud $\ell$, en los extremos de la varilla será la aceleración de lejos el uno del otro en $\ell\ddot{a}$ así que si queremos mantener la longitud de la varilla constante necesitamos aplicar un opuesto a la aceleración de la misma magnitud. Todo lo que necesitamos para responder a su pregunta es para calcular la aceleración y el conjunto es igual a la aceleración causada por la fuerza de gravedad de las dos masas.
El valor de $\ddot{a}$ está dada por la segunda ecuación de Friedmann. Esta ecuación viene de la relatividad general, pero nosotros por suerte no necesito saber GR y podemos utilizar la ecuación:
$$ \frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4\pi G}{3}\left(\rho + \frac{3p}{c^2}\right) + \frac{\Lambda c^2}{3} $$
donde $\rho$ es el promedio de la densidad de la materia (tanto normales + materia oscura) y $p$ es la presión. La presión es efectivamente cero para nuestro universo, y desde ahora $a=1$ la ecuación se simplifica a:
$$ \ddot{a} = -\frac{4\pi G\rho}{3} + \frac{\Lambda c^2}{3} $$
Si usted toma sus dos masas iguales $m$ separados por una distancia de $\ell$ la fuerza gravitacional entre ellos es:
$$ F = -\frac{Gmm}{\ell^2} $$
donde el signo menos visto significa que la fuerza es atractiva. La aceleración de $A$, dado por $F/m$, es:
$$ A = -\frac{Gm}{\ell^2} $$
Y todo lo que tiene que hacer para responder a su pregunta es para establecer esta aceleración gravitacional $A$ igual a menos el universo de aceleración $-\ell \ddot{a}$, de modo que se equilibran. Esto nos da:
$$ \frac{Gm}{\ell^2} = \ell\left(\frac{-4\pi G\rho}{3} + \frac{\Lambda c^2}{3}\right) \tag{2} $$
Así que para obtener el valor de $\ell$ sólo pienso en el promedio de la densidad de la materia $\rho$ y la constante cosmológica $\Lambda$, luego resuelve $\ell$. Voy a dejar esto como un ejercicio para el usuario.
Sin embargo, antes de cerrar hay un interesado y tal vez inesperado resultado de esto. Supongamos que ignorar la energía oscura, por un momento, entonces la ecuación (2) nos da:
$$ \frac{Gm}{\ell^2} = -\ell\frac{-4\pi G\rho}{3} \tag{3} $$
Pero hay algo mal aquí. Tenemos un número positivo a la izquierda igual a un número negativo en el derecho, y que no puede ser el caso. Entonces, ¿qué ha ido mal?
La respuesta es que si no hay energía oscura, la expansión del universo se está desacelerando decir $\ddot{a}$ es un número negativo. Esto significa que si usted toma cualquiera de los dos puntos en este universo que están acelerando el uno hacia el otro. Así que cuando usted toma dos masas que se estacionario con respecto a cada uno de los otros puntos de acelerar el uno hacia el otro, incluso sin ninguna fuerza de la gravedad entre las masas. Esto significa que no hay distancia en la que la expansión del espacio-tiempo y la fuerza gravitacional de equilibrio, y por eso obtenemos la ecuación (3) de arriba que no tiene solución.
Así que los dos masas sólo puede permanecer estacionaria si la energía oscura está presente, y específicamente que sólo puede permanecer estacionaria si la aceleración debido a la energía oscura es mayor que la desaceleración causada por la densidad de la materia:
$$ \frac{\Lambda c^2}{3} \gt \frac{4\pi G\rho}{3} $$
Suponiendo que todavía estás conmigo usted probablemente ha encontrado algo extraño acerca de lo que acabo de decir. Yo he dicho que sin la energía oscura cualquiera de las dos masas se acelerará el uno hacia el otro, pero ¿cómo encaja esto con la expansión del universo? No lo he dicho significa que el universo debe ser contratante no en expansión?
La aparente contradicción se debe a que se especifica en el principio de que las dos masas fueron inicialmente estacionario con respecto a la otra, pero esto no es cierto en general. Si nos fijamos en una galaxia distante no es estacionario con respecto a nosotros, pero en cambio se aleja a una velocidad dada aproximadamente por la ley de Hubble:
$$ v = H\ell $$
En un universo sin la energía oscura de la galaxia distante sería la desaceleración, es decir, hacia la aceleración de nosotros, pero ya que en la actualidad alejando a $v = H\ell$ la distancia entre nosotros es aún mayor.
