¿Por qué$\mathbb{R}^2$ no es un subespacio de$\mathbb{R}^3$?

Question

No puedo entender por qué$\mathbb{R}^2$ no es un subespacio de$\mathbb{R}^3$.

Mi razonamiento es el siguiente: elegir cualquier elemento$v_1$ y$v_2$ from$\mathbb{R}^2$, sumarlos juntos, se obtiene un elemento de$\mathbb{R}^2$ e igual para la multiplicación escalar y$0$ vector es un elemento de$\mathbb{R}^2$. Entonces, ¿dónde me equivoqué?

Answer 1

El espacio de $\mathbb{R}^2$ es isomorfo a un subgrupo de $(a,b,0)$ $\mathbb{R}^3,$ pero también es isomorfo a una infinidad de otras 2 dimensiones de los subespacios de $\mathbb{R}^3.$ por lo Tanto, no hay canónica de la incrustación, y que no suelen pensar de $\mathbb{R}^2$ como se encuentra en $\mathbb{R}^3.$

Otra explicación es el vector (a,b) no es el mismo que el vector (a,b,0). Tenemos un vector con 2 componentes de un vector con 3 componentes, por lo que son diferentes de los objetos.

Antes de discutir si $\mathbb{R}^2$ es un subespacio de $\mathbb{R}^3$ usted necesita para incrustar $\mathbb{R}^2$ $\mathbb{R}^3$ mediante la definición de un isomorfismo entre un subconjunto de a $\mathbb{R}^3$ & $\mathbb{R}^2.$ uno obvio es

\begin{equation*} (a,b)\in\mathbb{R}^2\leftrightarrow (a,b,0)\in\mathbb{R}^3. \end{ecuación*}

Como he mencionado anteriormente hay infinitas formas de hacerlo. Por ejemplo, otro isomorfismo a un subespacio de $\mathbb{R}^3$ es

\begin{equation*} (a,b)\in\mathbb{R}^2\leftrightarrow (a,0,b)\in\mathbb{R}^3 \end{ecuación*}

Con el fin de discutir si los elementos de a $\mathbb{R}^2$ es cerrado bajo la adición en $\mathbb{R}^3,$ primero necesitas saber cómo asignar un elemento de $\mathbb{R}^2$ a $\mathbb{R}^3$ (isomorfismo). Si has hecho eso, usted debe ser capaz de demostrar (mediante el subespacio criterios), que $\mathbb{R}^2$ es isomorfo a un subespacio de $\mathbb{R}^3.$

Sin embargo, usted no puede decir $\mathbb{R}^2$ es un subespacio de $\mathbb{R}^3.$

¿Qué pasa si usted elige para incrustar $\mathbb{R}^2$ $\mathbb{R}^3$ por

\begin{equation*} (a,b)\in\mathbb{R}^2\leftrightarrow (a,b,1)\in\mathbb{R}^3? \end{ecuación*}

Claramente el vector cero no está en el objeto incrustado $\mathbb{R}^2,$, por lo que no es un subespacio de $\mathbb{R}^3.$

¿Eso ayuda?