Grupo fundamental como funcional y su adjunto.

Question

Por lo tanto, se puede pensar que tomar el grupo fundamental de un espacio topológico puntiagudo es aplicar un funtor,$\pi_1$, que le da algo en la categoría de grupos. ¿Tiene$\pi_1$ un adjunto?

Answer 1

Si$\pi_1: Top_* \to Groups$ es un agregado izquierdo de algo, entonces preservaría todos los colimits, lo cual no es así, ya que necesitamos algunas condiciones de apertura, por ejemplo. Si es un adjunto correcto de algo, entonces conserva todos los límites, pero no conserva, por ejemplo, los retrocesos.

Esto es lo que hace que el Teorema de Seifert-Van Kampen sea algo mágico, calculando en algunas circunstancias, un invariante no abeliano.