¿Ejemplo de dominio Krull no noeteriano no UFD?

Question

Después de una confusa sesión de saltos por los artículos de la Wikipedia, me de Wikipedia, empecé a intentar resumir por mí mismo algunas de las inclusiones y relaciones entre los muchos tipos de dominios integrales. En este momento sólo estoy de varias fuentes, en lugar de ir a través de todos los artículos de la de las pruebas en detalle. (Para ser sincero, mis conocimientos de álgebra conmutativa es vergonzosamente pobre, y ni siquiera he entender todo el definiciones todavía. Pero hay que empezar por algún lado...)

De todos modos, tengo algunas preguntas sobre cosas que no he podido averiguar por mi cuenta, y voy a empezar con este:

¿Existen dominios de Krull que no sean ni noeterianos ni UFD?

(Supongo que sí, pero no he visto ningún ejemplo. El ejemplo estándar de un dominio Krull noetheriano parece ser $\mathbf{Z}[X_1,X_2,\dots]$ con un número contable de variables, pero eso es un UFD a menos que me equivoque. Y $\mathbf{Z}[\sqrt{-5}]$ es un no-UFD que es un dominio Dedekind, por lo tanto un dominio Krull y noetheriano).

Answer 1

¿Qué pasa con $\mathbf{Z}[\sqrt{-5}][X_1,X_2,\ldots]$ ? Esto no es un UFD y no es noeteriano.

Answer 2

HINT $\: $ Los UFD son precisamente los dominios de Krull con grupo de clase trivial. Así que basta con exhibir un dominio de Krull no noeteriano con grupo de clases no trivial. Una forma de hacer esto (y mucho más) es utilizar las técnicas de Claborn para construir dominios de Krull con grupos de clase abelianos arbitrarios - véase, por ejemplo, la sección 14 del libro de Fossum El grupo de clases divisoras de un dominio de Krull , $1973$ .

No tengo el libro de Fossum a mano, pero según Example $49$ de Hutchins: Ejemplos de anillos conmutativos, utiliza $\rm\:T =\: R\big[\{x_i,y_i,u_i,v_i\}_{\:i\:\in\: I}\big]/(\{x_i\:u_i-y_i\:v_i\}_{\:i\:\in\: I})\:,\:$ para $\rm\:R\:$ Krull, y para $\rm\:I \ne \emptyset\:.\:$ $\rm\:T\:$ es un dominio de Krull, pero no un UFD (tiene grupo de clase divisor $\rm\:Cl(T)\cong\! Cl(R)\oplus \mathbb Z^I)\:.\:$ $\rm\:T\:$ es noetheriano si $\rm\:R\:$ es, o si $\rm\:I\:$ es infinito. De ahí el ejemplo buscado.