Estoy leyendo sobre las representaciones inducidas para la investigación. En particular, estoy tratando de conseguir una comprensión firme en el caso de grupo finito antes de aventurarse en el caso localmente compacto. He estado mirando Wikipedia y más o menos captar la idea con una cuestión un tanto significativa: ¿por qué debemos buscar $\bigoplus g_iV$ (donde el $g_i$ son representantes del coset de for $H$ ) al definir la representación inducida? ¿Por qué la representación inducida en $G$ actuar simplemente $V$ o incluso $V^{|G|}$ en lugar de $[G:H]$ copias de $V$ ?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Para un par general $G, H$ y una representación $V$ de $H$ puede que no haya forma de extender la acción de $H$ a una acción de $V$ . Al hacer el $[G:H]$ copias tenemos suficiente margen de maniobra para $G$ para actuar.
Más o menos me gusta pensarlo así: Tomar $[G : H]$ copias de la representación indexada por los cosets de $H$ . Cuando se actúa por algo en $H$ se actúa sobre cada copia por separado, y cuando se actúa por otra cosa se permutan las copias según cómo ese elemento permuta los cosets de $H$ .
Esto no es del todo correcto, ya que otros elementos de $G$ no en $H$ actuará sobre las copias separadas además de permutarlas, pero creo que da una buena intuición de lo que está pasando. El artículo de la wikipedia da una fórmula más explícita de cómo general $g \in G$ actos.
HappyEngineer
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Esta es una visión más avanzada.
De forma más general, si se tiene un homomorfismo de anillo $\phi:R_1\to R_2$ y $M$ es una izquierda $R_1$ -entonces hay un módulo de la izquierda $R_2$ -módulo que es el "módulo inducido" que es:
$$R_2\otimes_{R_1} M$$ que es un $R_2$ módulo.
El caso de $H<G$ es entonces $R_1=\mathbb C[H], R_2=\mathbb C[G]$ es el caso de las representaciones de grupos inducidos. En ese caso, $R_2$ es generado por $[G:H]$ elementos cuando se considera como un $R_1$ -módulo, así que esto es $[G:H]$ veces la "dimensión" de $M$ .
Si se observan las categorías de $R_1\text{-Mod}$ y $R_2\text{-Mod}$ hay un functor obvio desde $F_{\phi}:R_2\text{-Mod}\to R_1\text{-Mod}$ . Creo, pero no estoy seguro, que $M\to R_2\otimes_{R_1} M$ es el adjunto de ese functor, pero no juraría que sea cierto.
Shawn O'Hare
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La inducción de módulos está en cierto sentido relacionada con la extensión por escalares. Recordemos que cualquier morfismo de anillo $f \colon R \to S$ induce un functor de la izquierda $R$ -módulos a la izquierda $S$ -enviando un $R$ -Módulo $M$ a $S \otimes_R M$ , donde $S$ es visto como un $(S, R)$ -bimódulo vía $f$ . Así que la extensión por functor escalar es en realidad sólo un functor tensorial izquierdo $L \otimes_R -$ para algunos $(S, R)$ -bimódulo $L$ .
Supongamos ahora que $G$ es un grupo finito, $H$ un subgrupo de $G$ y $K$ algún campo. Tenemos un $KH$ -Módulo $N$ y quiere obtener un $KG$ -módulo de la manera más universal. Ver el anillo de grupo $KH$ como un subring de $KG$ y luego extender por escalares sugiere que $KG \otimes_{KH} N$ es nuestro candidato. De hecho, puede demostrar que $\text{Ind}_H^G N \cong KG \otimes_{KH} N$ como $(KG, KH)$ -y más generalmente que el functor de inducción $\text{Ind}_H^G \colon KH\text{-Mod} \to KG\text{-Mod}$ entre las respectivas categorías de módulos es naturalmente isomorfo al functor tensorial izquierdo $KG \otimes_{KH} -$ .
También hay que tener en cuenta que las otras operaciones básicas de la teoría de la representación, como la restricción, la inflación y la deflación, pueden definirse de forma similar como funtores tensoriales.
blue
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Inducida por las representaciones son un caso especial de extensión de escalares. Digamos que usted está haciendo álgebra lineal sobre un espacio vectorial $V$ definida sobre un campo de $k$. A menudo es útil tener un algebraicamente cerrado campo de escalares, y desde entonces se puede descomponer un espacio en generalizada subespacios propios de un determinado lineal mapa, entonces, ¿qué hacemos si nuestro escalares no son algebraicamente cerrado? Ampliamos ellos! Para este fin, vamos a $L/K$ ser de cualquier extensión de campos: queremos que la extensión de escalares-de-$K$a-$L$ a tomar la libre $K$-espacio vectorial sobre un conjunto $X$, y el retorno a la libre $L$-espacio vectorial en el set $X$. Por lo tanto, si nuestro espacio se compone de elementos que se $K$-de las combinaciones lineales de un conjunto dado de vectores de la base, a continuación, después de la extensión de escalares de la misma es verdadera sólo tenemos $L$-de las combinaciones lineales. Hay una manera de hacer esto independiente de la elección de una base, que es el tensor contra la $L$$K$, es decir,$V_L:=L\otimes_KV$. El tensor de productos es básicamente una forma de "pretender multiplicar" vectores en $V$ por escalares en $L$, y dejarnos de las combinaciones lineales de estos "pretender productos." Uno fácilmente se comprueba esto hace que $V_L$ $L$- espacio vectorial.
El mismo se puede hacer con $R$-módulos. (Espacios vectoriales son los módulos a través de los campos.) Si $S$ es un anillo que contiene el anillo de $R$, e $M$ cualquier $R$-módulo, a continuación, $S\otimes_RM$ está formado por "fingir" que se multiplican los elementos de $M$ por escalares en $S$ (sujeto a la condición de que los escalares en $R$ a actuar de la misma manera en que lo hizo originalmente en $M$) y, a continuación, la adición de estas pretender productos, y esto convierte a $S\otimes_RM$ en un módulo a través de la más grande anillo de $S$.
Lineal de las representaciones de un grupo de $H$ sobre un campo $k$ son básicamente $k[H]$-módulos. Si queremos extender la acción de la $H$ $k$espacio $V$ a una acción de $G$, lo que es necesario ampliar los escalares de $k[H]$ a los escalares de $k[G]$. Esto se logra por $k[G]\otimes_{k[H]}V$. Se compone de combinaciones lineales de los vectores $gv$ $g\in G$, $v\in V$, sujeto a $(ab)v=a(bv)$, $(a+b)v=av+bv$, $a(v+w)=av+aw$, y la regla de que $hv$ $h\in H$ es exactamente como se define al $V$ $k[H]$- módulo.
A una categoría teórico, nos damos cuenta de que "la restricción de la acción de la $G$ a la acción de la $H$" es, básicamente, un olvidadizo functor de la categoría de representaciones de $G$ a la categoría de representaciones de $H$. La noción de "libre" o "universal" construcciones es capturado en categorías de lenguaje como "adjoints a olvidadizo functors," de modo que si el frente de la restricción de las acciones, es la inducción de ellos hacia arriba, entonces podemos definir las representaciones de $G$ inducida a partir de una representación de $H$ a través de la aplicación de un adjunto. Frobenius de la reciprocidad (el $\hom$ versión) establece, en esencia, que el $k[G]\otimes_{k[H]}V$ es la izquierda adjunto aplicado a una representación $V$ $H$ a inducir una representación de $G$.
Jeff Leonard
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Cada vez que hay alguna definición (o en este caso, más precisamente de la construcción), es de hecho una buena idea preguntarse "¿por qué tienen que ser exactamente de esta manera".
Para responder a esa pregunta, uno debe comenzar por averiguar lo que el objeto construido, debe satisfacer. En este caso, tenemos un grupo de $G$, un subgrupo $H$ y una representación $V$$H$. Lo que queremos es una representación de $G$, y nosotros, por supuesto, como para tener algún tipo de relación con $V$. Ya tenemos una muy buena manera de obtener una representación de $H$ a partir de una representación de $G$ (restricción), esto se debe, probablemente, de alguna manera jugar en esta relación.
Voy a hablar de tres posibles relaciones que uno podría desear: Los optimistas, los excesivamente pesimista, y el "justo".
El excesivamente optimista:
Si tuviéramos que el deseo de que la mejor relación que podría obtener, nos gustaría que nuestros inducida por la representación de $W$ a ser tal que la restricción de $W$ $H$le da la espalda a $V$. Esto, evidentemente, nos dan el mejor posible relación que nos podría esperar, pero, por desgracia, $G$ no tiene ninguna representación con esta propiedad (de hecho, la determinación de cuando es este el caso, es un tema muy interesante en la teoría de representaciones de grupos finitos).
El excesivamente pesimista:
Una relación que al menos deberíamos exigir es que si $V$ es simple, entonces, al restringir la inducida por el módulo de a$H$, $V$ es un submódulo o un cociente (tenga en cuenta que no se ha especificado nada acerca de los grupos o de que el campo de trabajo, así que estos no necesitan ser equivalente). Sin embargo, como veremos a continuación, podemos conseguir algo mejor que esto, y podemos conseguir todo lo que podemos.
El "justo":
En la excesivamente pesimista versión, que estaban interesados en submódulos o cocientes. Pero a menudo es más útil la cosa a considerar será $\operatorname{Hom}$-los espacios entre los módulos. En este contexto, la necesidad de un determinado simple submódulo es lo mismo que tener un valor distinto de cero homomorphism de dicho módulo sencillo (y como un cociente es la misma con la flecha en la otra dirección). Así que de esta manera, la excesivamente pesimista versión se convierte en una declaración acerca de ciertas $\operatorname{Hom}$-espacios de ser distinto de cero. Para hacer esto más general, tenemos una $H$-módulo de $V$ y queremos una $G$-módulo de $W$ tal que cuando tenemos un $G$-módulo de $M$, tenemos algún tipo de comparación entre los espacios de $\operatorname{Hom}_H(V,M)$ $\operatorname{Hom}_G(W,M)$ (o con las entradas de conmutación).
Entonces, ¿qué tipo de comparación queremos? Bueno, estos son vectorspaces, ¿por qué no pedir que tienen la misma dimensión?
Este resulta ser justo la cosa para preguntar, ya que es por un lado una fuerte condición, pero por el otro, podemos construir una $W$ (que la inducida por el módulo satisface esta es conocida como Frobenius de la reciprocidad).
Tenga en cuenta que para recuperar la excesivamente pesimista versión, podemos tomar $M = W$ en la anterior.
Como nota final, me gustaría añadir un poco de notación. Si se denota la restricción de $G$ $H$ $\operatorname{res}_H^G$y la inducción de$H$$G$$\operatorname{ind}_H^G$, entonces la condición anterior, se convierte en $\operatorname{Hom}_H(V,\operatorname{res}_H^G M)\cong\operatorname{Hom}_G(\operatorname{ind}_H^G V,M)$, o en otras palabras, que la inducción es la izquierda adjunto a la restricción (o a la derecha adjoint si queremos cambiar las entradas), al menos cuando todo se comporta muy bien como functors, que de hecho tiende a hacer.
También vale la pena destacar es que el de arriba te da dos posibilidades para lo que podría requerir de nuestra "inducción". Un "ligeramente más optimista" versión podría ser necesario para mantener. Y, de hecho, para grupos finitos $\mathbb{C}$, esto es lo que tenemos, pero en general los dos no necesitan dar la misma (de hecho, nosotros no siempre puede estar seguro de que ambos existen). Por ejemplo, cuando se trata con algebraica de los grupos, por lo general, va a estar más interesados en la versión mencionada en paranthesis, ya que esta es un poco mejor comportamiento.
