Carácter Euler de etale de cubierta finita

Question

Deje que$\pi: \tilde{X} \to X$ sea una cubierta finita de etale, entonces por qué el personaje de Euler tiene relación:$$\chi(\tilde{X},\mathcal{O}_{\tilde{X}})=\deg(\pi)\chi({X},\mathcal{O}_{{X}}).$ $

Intento usar Riemann-Roch, pero no sé cómo relacionar los personajes de Chern y la clase de Todd de ellos.

Además, encontré una pregunta similar en el contexto topológico .

Answer 1

Debido a $\pi$ es étale, ha $\pi^\ast(\mathcal T_X)=\mathcal T_{\tilde X}$$\pi^\ast(\mathcal O_X)=\mathcal O_{\tilde X}$, de todos modos. El uso de Hirzebruch-Riemann-Roch y el siguiente Lema, tenemos \begin{align*} \deg(\pi)\cdot \chi(X,\mathcal O_X) &=\deg(\pi)\cdot\int_X \Bigl(\mathrm{ch}(\mathcal O_X)\cdot\mathrm{td}(\mathcal T_X)\Bigr) = \int_{\tilde X} \pi^\ast\Bigl(\mathrm{ch}(\mathcal O_X)\cdot\mathrm{td}(\mathcal T_X)\Bigr) \\ &= \int_{\tilde X} \mathrm{ch}(\mathcal O_{\tilde X})\cdot\mathrm{td}(\mathcal T_{\tilde X}) = \chi(\tilde X,\mathcal O_{\tilde X}). \end{align*}

Lema Deje $\pi:\tilde X\to X$ ser finito surjective de morfismos de nonsingular variedades de dimensión $n$. Denotar por $A(X)$ el anillo de Chow $X$. El compuesto $$A(X)\xrightarrow{\quad\textstyle\pi^\ast\quad} A(\tilde X)\xrightarrow{\quad\textstyle\pi_\ast\quad} A(X)$$ es la multiplicación por $N=\deg(\pi)$. En particular, para todos los $\alpha\in A^n(X)$, $$\int_{\tilde X} \pi^\ast(\alpha) = N\cdot\int_X \alpha$$ Prueba de Esto es Ejemplo 1.7.4 de Fulton del libro de la Intersección de la Teoría, pero te puedo dar una muy breve prueba utilizando la Fórmula 12.6.2 de Görz-Wedhorn si estamos tratando con las variedades y los morfismos es étale. Por dicha fórmula, para cualquier punto de $P\in X$, $N=\sum_{\pi(Q)=P} [\Bbbk(Q):\Bbbk(P)]$ debido a la ramificación de los índices de todos los $1$. Por lo tanto, $$N\cdot\int_X [P] = N\cdot[\Bbbk(P):\Bbbk]=\sum_{\pi(Q)=P} [\Bbbk(Q):\Bbbk(P)][\Bbbk(P):\Bbbk] = \sum_{\pi(Q)=P} [\Bbbk(Q):\Bbbk] = \int_{\tilde X} \pi^\ast[P].$$ Hemos terminado porque esto se extiende a formal sumas de puntos.

Comentario 1: El Lema no requiere la étale condición porque los puntos sin esfuerzo se puede mover fuera de la ramificación locus. He dejado esto porque, bueno, no tenemos la ramificación.

Comentario 2: cuanto más lo miro, más me parece que esta probablemente puede ser generalizado a cuasi-proyectiva esquemas sobre los campos, el uso de Grothendieck-Riemann-Roch. No estoy seguro de cómo usted quiere que su objetos de $X$$\tilde X$.

Answer 2

Esto se deduce de Riemann-Hurwitz, y del hecho de que la portada de un étale no está cifrada.