Si no me equivoco, todos los $\Sigma_n$ (o $\Pi_n$ ) declaración de $\phi$ es equivalente a una declaración que dice que una máquina de Turing se detiene (o no detener) en la entrada de $C$ $\Sigma_{n-1}$- oracle. Entonces, porque no tenemos los oráculos, que no debe ser capaz de demostrar tal afirmación con $n\geq 2$ dentro de PA, incluso si $\phi$ que es verdad en la norma N.
Si la respuesta a la pregunta es sí, ¿eso significa que cualquier teoría más fuerte que PA que demuestra una $\phi$ verdadera en N (pero independiente de la PA) equivalente a la introducción de los axiomas sobre los oráculos? Son entonces las matemáticas de las teorías (o sistemas formales) más fuerte que PA ontológicamente equivalente a conjeturas acerca de los oráculos?
Pregunta extra: Es el CH o cualquier otro axioma de la teoría de conjuntos y más allá equivalente a algún tipo de transfinito detener la cuestión con algún tipo de "super" de oracle?
Más destilada pregunta: Estoy de acuerdo en que, incluso si ϕ es independiente de la PA, ϕ∨ϕ es no, porque es una tautología. Entonces, por ejemplo, si ϕ∨ϕ es Σ3, entonces ϕ∨ϕ es equivalente a afirmar que una determinada máquina de Turing se detiene en la entrada de C usando un Σ2-oracle (y que será cierto). Ahora bien, el hecho de que hemos sido capaces de demostrar ϕ∨ϕ significa que el oráculo no es necesario? o indicando de una manera diferente, haces esto significa que, incluso si ϕ∨ϕ es Σ3, y porque puede ser demostrado, también es equivalente a afirmar que la misma máquina de Turing se detendrá en C de entrada, incluso sin un oráculo?
