Una desigualdad para$W^{k,p}$ normas

Question

Sea$u \in W_0^{2,p}(\Omega)$, para$\Omega$ un subconjunto delimitado de$\mathbb R^n$. Estoy tratando de obtener el límite

PS

para cualquier$$\|Du\|_p \leq \epsilon \|D^2 u\|_p + C_\epsilon \|u\|_p$ (aquí$\epsilon > 0$ es una constante que depende de$C_\epsilon$, y$\epsilon$ es la norma$\|.\|_p$). Intenté deducir esto de la desigualdad de Poincare, pero eso no parece llevarme a ningún lado. También intenté probar el caso unidimensional primero, pero no pude hacerlo más que el caso$L^p$. ¿Alguna sugerencia sobre cómo proceder con este problema?

Answer 1

Tales desigualdades aparecen por todo el lugar en el PDE de la teoría. Todos ellos pueden ser vistos como instancias de Ehrling del lexema. Aquí, usted tiene $$ (W^{2,p}_0(\Omega), ||\;||_3) \hookrightarrow (W^{1,p}_0(\Omega), ||\;||_2) \hookrightarrow (L^p(\Omega), ||\;||_1) $$ donde $$ ||u||_3 = ||D^2u||_p, ||u||_2 = ||Du||_p, ||u||_1 = ||u||_p. $$ La inclusión es compacto, la segunda continuo y, por tanto, de Ehrling del lema que tiene para cualquier $\epsilon > 0$ una constante $C(\epsilon) > 0$ tal que $$ ||u||_2 \leq \epsilon ||u||_3 + C(\epsilon)||u||_1. $$

El hecho de que $||\;||_2$ es un equivalente de la norma para el espacio de Sobolev $W^{1,p}_0(\Omega)$ es la desigualdad de Poincaré. El hecho de que $||\;||_3$ es un equivalente de la norma para el espacio de Sobolev $W^{2,p}_0(\Omega)$ puede considerarse como una aplicación de Ehrling del lema junto con la desigualdad de Poincaré.