Denote $dA$ la medida estándar de Lebesgue en $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ Es decir
$$dA = \prod_{1\le i,i \le n} da_{i,j}$$
donde $A = (a_{i,j})_{1\le i,i \le n}$ , y de forma similar $d\nu = \prod_{i = 1}^n \nu_i$
La fórmula para el cambio de variables en una integral se puede denotar formalmente como $d(A'A) = \left|det A'\right|^n \, dA$ si $A'$ es una matriz fija. Y de forma similar, de $A'$ es una matriz fija y $\nu'$ un vector fijo, tenemos $d(A'\nu + \nu') = \left|det A'\right| \, d\nu$ . Entonces creo que tomar
$$d^*\left(\begin{matrix}A & \nu\\0&1\end{matrix}\right) = \frac{dA \cdot d\nu}{\left|\det A\right|^{n+1}}$$
le da una medida invariante a la izquierda en $\operatorname{Aff}_n(\mathbb{R})$ , ya que puede comprobar que
$$\begin{align*} d^*\left[ \left(\begin{matrix}A' & \nu'\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A & \nu\\0&1\end{matrix}\right)\right] &= d^*\left[ \left(\begin{matrix}A'A & A'\nu+ \nu'\\0&1\end{matrix}\right)\right]\\ &= \frac{d(A'A) \cdot d(A'\nu+\nu')}{\left|det(A'A)\right|^{n+1}} \\ &= \frac{\left|\det A'\right|^n\, dA\cdot \left|det A'\right|\, d\nu}{\left|\det A'\right|^{n+1} \, \left|\det A\right|^{n+1}} \\ &= \frac{dA\cdot d\nu}{\left|\det A\right|^{n+1}} \\ &= d^*\left(\begin{matrix}A & \nu\\0&1\end{matrix}\right) \end{align*}$$
En general, cuando los elementos están parametrizados por algún $X \in \mathbb{R}^N$ la medida de Haar será a menudo de la forma $f(X) \, dX$ para alguna función $f$ , donde $dX$ denota la medida habitual de Lebesgue. Encontrar la medida, se reduce a encontrar esta función $f$ .
