Me gustaría saber qué estrategia de prueba usar al probar la siguiente desigualdad:$\ln(n^2)(\ln(n) - 1) < n,\quad\forall n \in \mathbb{N}$. He estado tratando de usar estas dos desigualdades probadas$\dfrac{n}{n+1} < \ln(n+1) < n$, pero no me dio una solución.
Respuestas
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Definir una función $u$$x>0$$u(x)=x-\log(x^2)(\log(x)-1)=x-2\log(x)^2+2\log(x)$. El objetivo es demostrar que el $u(n)>0$ para cada entero positivo $n$, vamos a demostrar la declaración más fuerte que $u(x)\ge1$ para cada número real $x\ge1$.
Para ello, en primer lugar tenga en cuenta que $u'(x)=v(x)/x$ $v(x)=x-4\log(x)+2$ y $v'(x)=1-4/x$, por lo tanto $v$ es la disminución en el $(1,4)$ y aumentando en $(4,+\infty)$.
Desde $v(4)=6-8\log(2)=.4548>0$, $v>0$ en todas partes y $u$ es cada vez mayor. En particular, $u(x)\ge u(1)=1$ por cada $x\ge1$.
Por último, para cada entero positivo $n$, $$ \log(n^2)(\log(n)-1)\le n-1<n. $$
John Fouhy
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Haga la sustitución de$x = \log n$, así que$x \geq 0$. La desigualdad ahora dice$$ 2x(x-1) < \exp(x). $ $ Todo lo que debemos saber es tomar la expansión de Taylor de$\exp(x)$ y detenernos en el lugar correcto. Por ejemplo,$$ 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} < \exp(x), $ $ y sucede que cuando$x \geq 0$,$$ 2x(x-1) < 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24}. $ $ Esto se puede verificar formalmente usando, por ejemplo, secuencias de Sturm (o encontrando explícitamente todas las raíces con la fórmula quartic).
delroh
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He aquí un método sencillo. Compruebe la desigualdad de la base de casos $n=1$$n=2$; supondremos $n \geq 3$ a partir de ahora. Vamos ahora a hacer la sustitución $x = \ln n$ (donde $x \geq \ln 3 > 1$), y la reescritura de la desigualdad como $e^x \geq 2x(x-1)$.
Utilizando la famosa desigualdad de $e^{t} \geq t+1$, obtenemos $$ e^{x- \frac{3}{2}} \geq x- \frac{1}{2}. $$ para todos los verdaderos $x$. Integrando entre los límites de $0$$x > 0$, obtenemos: $$ e^{x- \frac{3}{2}} - e^{-\frac{3}{2}} \geq \frac{1}{2}(x^2-x). $$ Reordenando esta un poco (y soltando un término), obtenemos $$ e^x \geq \frac{e^{3/2}}{4} \cdot 2x(x-1), $$ lo que implica la demanda desde $\frac{e^{3/2}}{4} \geq 1.1 > 1$. (Tenga en cuenta que el paso final es válida sólo si $2x(x-1)$ es positivo, pero esta es la verdad, ya que $x \geq 1$.)
