Dejar $\mathbb{R}^2 = \mathbb{R} \times \mathbb{R} $. Indica con$\mathscr{B}^2$ el álgebra de borel sigma de$\mathbb{R}^2$ y$\mathscr{B}$ el álgebra de borel sigma de$\mathbb{R}$. Sé que esta pregunta puede parecer trivial, pero ¿cómo puedo justificar eso de hecho$\mathscr{B}^2 = \mathscr{B} \otimes \mathscr{B}$ (el álgebra sigma más pequeño que contiene$\mathscr{B} \times \mathscr{B} $)?
Respuesta
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Es más topología que teoría de la medida. Esencialmente es porque la métrica natural en$\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ (con rectángulos abiertos como base), es equivalente a la métrica euclidiana en$\mathbb{R}^2$ (con base de bolas abiertas). Como$\mathscr{B}^2$ es generado por bolas abiertas, y$\mathscr{B}\times\mathscr{B}$ es generado por productos de intervalos abiertos (rectángulos), son los mismos.
