$A\subseteq B\subseteq C$ anillo extensiones, $A\subseteq C$ finito/finitely generado $\Rightarrow$ $A\subseteq B$ finito/finitely generado?

Question

Deje $A\subseteq B\subseteq C$ ser conmutativa unital anillos. Recordemos que la extensión de $A \subseteq B$ es finito / finitos tipo / integral, al $B$ es un finitely generadas $R$-módulo / al $B$ es un finitely generadas $A$-álgebra / cuando $\forall b \in B$ $\exists$ monic polinomio $f \in A[x]$$f(b)=0$. La notación $_AB$ "$A$- módulo de $B$".

Sabemos que $A\subseteq C$ es parte integral de la fib $A\subseteq B$ $B\subseteq C$ integral (Grillet, Álgebra Abstracta, 7.3.3).

¿También tenemos los siguientes:

1. $A\subseteq C$ es finito $\Leftrightarrow$ $A\subseteq B$ y $B\subseteq C$ son finitos.
2. $A\subseteq C$ es de tipo finito $\Leftrightarrow$ $A\subseteq B$ y $B\subseteq C$ son finitos tipo.

Estoy teniendo problemas con ($A\subseteq C$ finito $\Rightarrow$ $A\subseteq B$ finito) y con ($A\subseteq C$ de tipo finito $\Rightarrow$ $A\subseteq B$ finito de tipo). Si $_AB$ es un sumando directo de $_AC$ (por ejemplo, cuando se $A$ es un campo), es decir, $_AC= _A B\oplus _A B'$ para algunos submódulo $B'$$C$, $C=Ac_1+\cdots+Ac_n$ implica $c_i=b_i+b'_i$ algunos $b_i\in B$$b'_i \in B$, por lo tanto $B = Ab_1 + \cdots + Ab_n$. Pero lo que si $_AB$ no es un sumando directo de $_AC$? ¿Y qué acerca de la 'finito' tipo de caso?

Answer 1

Ni de las implicaciones que usted está teniendo problemas con retención en general. Como un ejemplo, considere la posibilidad de $A=k[X_1,X_2,\ldots]$, $C=A[Y]/(Y^2)$ y $B\subseteq C$ (unital) álgebra $A$ generado por los términos de la forma $X_iY$. Usted debe ser capaz de demostrar que $C$ es finitely generado tanto como un módulo y como un álgebra sobre $A$, pero $B$ no es finitely generado más de $A$ en cualquier sentido.

Answer 2

Tiene usted derecho a tener problemas debido a las implicaciones que usted no puede probar que son falsas!

1) Vamos a $A$ ser un anillo y $M$ $A$- módulo.
Definir un $A$-álgebra estructura $A*M$ $A\oplus M$ al decretarse que ese $m\cdot m'=0$ todos los $m,m'\in M$.
Ahora si $A$ no es noetherian y si $M$ es finita $A$-módulo con un no finitely generado sub-módulo de $N\subset M$, usted puede tomar $B=A*N\subset C=A*M$ como un ejemplo de no-finito subalgebra de un número finito de álgebra .

2)$A = k$, un campo, $C=k[x,y]$, el polinomio de anillo .
A continuación, $B=k[x,xy, xy^2,...,xy^n,...] $ es una subalgebra de la finitely generadas $k$-álgebra $C$ que no está finitely generado más de $k$.

Noetherian alerta
Si $A$ es noetherian, a continuación, una subalgebra de un módulo-finito $A$-álgebra es el módulo-finito, de modo que ningún contraejemplo como 1) es posible.
Sin embargo, desde un campo de $k$ es un muy noetherian anillo, contraejemplo 2) anterior demuestra que una subalgebra $B$ de un finitely generadas $A$-álgebra no necesita ser finitely generado incluso si el anillo de la base $A$ es noetherian.
Sin embargo, si usted añadir a noetherianity de $A$ la hipótesis de que la $C$ es de módulo finito $B$, entonces, de hecho, $B$ será finitely generado más de $A$: este es el Artin-Tate teorema que BR enlaces en un comentario a George (Lowther!) 's respuesta.