, entonces

Question

Ya sé que si los grupos de $G,H,K$ son finitely generado abelian grupos, lo siguiente es verdadero.

Si $G\times K$ es isomorfo a$H\times K$, $G$ es isomorfo a $H$. Puedo demostrar esto por uniquness de factorización de finitely generado abelian grupos.

Mis preguntas son

1.Si el grupo $G$ es finito,$G\times K$ es isomorfo a$H\times K$, $G$ es isomorfo a $H$? Me puedes dar una forma más fácil y a prueba de que se puede demostrar mediante la función de proyección externa directa de productos?

2.Si $G,H,K$ son grupos. Si $G\times K$ es isomorfo a$H\times K$, $G$ es isomorfo a $H$. Esta declaración es falsa. ¿Qué es un contraejemplo?

*$\times$ es producto directo externo

Answer 1

Usted puede ver Hirshon del artículo Sobre la cancelación en grupos, donde el autor demuestra que los grupos finitos puede ser cancelado en directo de productos. También me indicaran una prueba simple de Vipul Naik aquí, que demostró que los grupos finitos puede ser cancelado en productos directos de grupos finitos.

Para su contraejemplo, usted puede tomar $$G \times (G \times G \times \cdots) \simeq \{1\} \times (G \times G \times \cdots)$$ where $G$ es cualquier grupo no trivial. Otros ejemplos se pueden encontrar aquí; en particular, un finitely presentado contraejemplo es que allí se indican.

Answer 2

1) Este es un teorema no trivial de Laszlo Lovasz. Google su nombre junto con el producto directo y lo encontrarás.

2) Deje que$$G = \mathbb{Z} / p \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} / p \mathbb{Z} \times \ldots$$ $$H = \mathbb{Z} / p \mathbb{Z} $$ $$K = \mathbb{Z} / p \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} / p \mathbb{Z}.$ $

Answer 3

Hay un par de preguntas de hace un año en una vena similar a este en matemáticas.SE. Así que pensé que sería útil publicar esta respuesta de vincular a dos de ellos y ponerlos en relación con su pregunta.

La primera pregunta que se plantea:

Qué $G\times H\cong G\times K\Rightarrow H\cong K$?

Basic respuesta: No, tomar $G\times G\times G\times \cdots$, $H=G$ y $K=1$ (que es básicamente el mismo que en las respuestas dadas aquí).

Esto llevó a un spin-off de la cuestión, que es básicamente la pregunta (1):

Deje $G\times H\cong G\times K$ ser finito isomorfo grupos. A continuación, se $H$ $K$ isomorfos?

Respuesta: Sí. Todas las respuestas citar un papel de Hirshon, con Serias', que da una primaria de la prueba debido a Naik.

Ahora, para responder a su segunda pregunta: ¿de Dónde viene esta falla? Cuando lo anterior se formularon dos preguntas esto me molestó bastante por un tiempo. Todas las respuestas o bien dicho "finito de grupos de trabajo" de "algunos infinitos grupos no funcionan". El problema es que el infinito de los grupos que se han dado son una basura! No son finitely generado! En la teoría de los infinitos grupos el reto es a menudo encontrar finitely generado, o, mejor aún, finitely presentan grupos con propiedades patológicas. Véase, por ejemplo, aquí, aquí y aquí. Ahora, resulta que la propiedad que estamos discutiendo falla en el más simple posible caso infinito. Concretamente:

Si $G\times H\cong G\times K$ es finitely presentado y $H\cong\mathbb{Z}$ es infinito cíclico, a continuación, $K$ no necesita ser infinito cíclico.

Voy a revisar la prueba de esto (es muy fácil!) en una respuesta a la pregunta original, aquí. El resultado es de nuevo debido a la Hirshon, y se da en el mismo papel como demuestra el resultado sobre grupos finitos. Básicamente, Hishon demostrado los resultados de los grupos finitos y le preguntó "¿de dónde viene esta ruptura" y, a continuación, nos dijo. Así que, para una respuesta completa a su pregunta, lea Hirshon del papel!