Una consecuencia de la versión teórica ideal del Teorema del Resto Chino

Question

Sea $I_i$ , $1\leq i\leq n$ sean ideales comaximales en un anillo conmutativo $R$ y $I=\cap _{1\leq i \leq n}I_i$ . Demostrar que $(R/I)^\times$ es isomorfo a $(R/I_1)^\times \times \cdots \times (R/I_n)^\times$ . ( $(R/I)^\times$ se refiere a los elementos invertibles del anillo cociente).

Answer 1

Pistas:

1. Si $R$ y $S$ son anillos isomorfos, entonces $R^\times\cong S^\times$ (el grupo unitario es functorial).

2. $(R\times S)^\times=R^\times\times S^\times$ (literalmente iguales).

Answer 2

¿Podría "adivinar" cuál sería el mapa natural entre $R/I$ y $R/I_1 \times R/I_2 \times \dots \times R/I_n $

$\eta :R/I \rightarrow R/I_1 \times R/I_2 \times \dots \times R/I_n $ w $x+I\rightarrow (x+I_1,x+I_2,\dots,x+I_n)$

¿al menos ves que $\eta$ es inyectiva...

supongamos que $\eta(x+I)=0\in R/I_1 \times R/I_2 \times \dots \times R/I_n$

es decir, $(x+I_1,x+I_2,\dots,x+I_n)=(0+I_1,0+I_2,\dots,0+I_n)$

es decir, $x+I_1=0+I_1, x+I_2=0+I_2,\dots x+I_n=0+I_n$ es decir, $x\in I_i$ para todos $1\leq i\leq n$

es decir, $x\in \cap_{1\leq i\leq n} I_i$ como sabemos que $\cap_{1\leq i\leq n} I_i=I$ vemos que $x\in I$

es decir, $x+I=0+I$ es decir, $\eta$ es inyectiva.

Por lo tanto, ahora tenemos la esperanza de que podría "posiblemente ser suryectiva" y por lo tanto ISOMORPHISM

(En el paso anterior asumo que sabes cómo demostrar $\eta$ es homomorfismo)

intentemos probarlo primero para $n=2$ y espero que la inducción funcione bien...

por lo tanto, suponemos que $I_1,I_2$ son comaximales y $I=I_1\cap I_2$ .

Como son comaximales, tenemos $R=I_1+I_2$ es decir, para algunos $x\in I_1, y\in I_2$ tenemos $x+y=1$

veamos dónde $x\in I_1$ y $y\in I_2$ se hunde $\eta$ tenemos $\eta (x)=(x+I_1,x+I_2)$ ...

En $x$ ya está en $I_1$ tenemos $x+I_1=0+I_1$

como $x+y=1$ tenemos $x=1-y$ y así $x+I_2=1-y+I_2$

sabemos que $y\in I_2$ así $y+I_2=0+I_2$ es decir, $x+I_2=1-y+I_2=1+I_2$

Así, tenemos $\eta(x)=(x+I_1,x+I_2)=(0+I_1,1+I_2)$

Por razones similares, vemos que $\eta(y)=(y+I_1,y+I_2)=(1+I_1,0+I_2)$

Ahora, tomemos un elemento arbitrario $(r_1+I_1,r_2+I_2) \in R/I_1\times R/I_2$

necesitamos saber dónde $(r_1+I_1,r_2+I_2)$ viene de abajo $\eta$ .

tenemos $(r_1+I_1,r_2+I_2)=(0+I_1,r_2+I_2)+(r_1+I_1,0+I_2)$

Ahora,

$(0+I_1,r_2+I_2)=(r_2+I_1,r_2+I_2)(0+I_1,1+I_2)$ $(r_1+I_1,0+I_2)=(r_1+I_1,r_1+I_2)(1+I_1,0+I_2)$

Así que.., $(r_1+I_1,r_2+I_2)=(r_2+I_1,r_2+I_2)(0+I_1,1+I_2)+(r_1+I_1,r_1+I_2)(1+I_1,0+I_2)$

y sabemos que $\eta(x)=(x+I_1,x+I_2)=(0+I_1,1+I_2)$ y $\eta(y)=(y+I_1,y+I_2)=(1+I_1,0+I_2)$

Por lo tanto, ahora tenemos

$(r_1+I_1,r_2+I_2)=(r_2+I_1,r_2+I_2)(0+I_1,1+I_2)+(r_1+I_1,r_1+I_2)(1+I_1,0+I_2)=\eta(r_2)\eta(x)+\eta(r_1)\eta(y)=\eta(r_2x+r_1y)$

Así que.., $(r_1+I_1,r_2+I_2)$ proviene de $r_2x+r_1y\in R$ (bajo $\eta$ ) .

Así, vemos que $\eta : R/I \rightarrow R/I_1 \times R/I_2$ es suryectiva y, por tanto, ISOMORFISMO

(La inyectividad ya está demostrada y el homomorfismo se deja como condición fácil de ver)

es decir, tenemos $R/I\cong R/I_1\times R/I_2$

Ahora, para el proceso de inducción, si usted tiene $I_i : 1\leq i\leq n$ el, toma $I_1=I_1$ y $I_2\cap I_3\cap \dots I_n= I_m$ entonces obtendrá $R/I\cong R/I_1\times R/I_m$

ahora vuelva a crear lo mismo para $m$ al final terminará con el caso de que

$R/I\cong R/I_1 \times R/I_2 \times \dots \times R/I_n $ y así, hemos terminado.

P.D : como dice Mr.Alex,

Si $R\cong S$ entonces $R^*\cong S^*$ $(R\times S)^*=R^* \times S^*$

y si aplicamos esto a

$R/I\cong R/I_1 \times R/I_2 \times \dots \times R/I_n $

obtenemos $(R/I)^*\cong (R/I_1)^* \times (R/I_2)^* \times \dots \times (R/I_n)^* $ y ahora está completo :)

Prefiero utilizar $R^*$ para elementos invertibles de $R$ y le ruego me disculpe si le molesta :)