Representaciones de Galois e isogenias de curvas elípticas.

Question

Deje que$E$ sea una curva elíptica sobre$\mathbb{Q}$. Para cada primo$\ell$, la acción de$\mathrm{Gal}(\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ en$E[\ell]$ (el grupo de$\ell$ - puntos de división de$E$) define una representación$$\rho=\rho_\ell:\mathrm{Gal}(\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}) \longrightarrow \mathrm{GL}(2,\mathbb{F}_\ell). $ PS

Entonces, ¿cómo probar que$\rho$ es reducible si y solo si$E$ admite una isogenia del grado$\ell$?

Answer 1

La representación de Galois es reducible si hay un subespacio unidimensional estable de Galois$\mathbb{F}_{\ell}$, por ejemplo,$C$. Entonces$E \rightarrow E/C$ es una isogenia racional$\mathbb{Q}$ -. Por el contrario, si$E \rightarrow E'$ es un grado$\ell$ isogenia, su kernel$C$ es un subgrupo estable en Galois de$E(\overline{\mathbb{Q}})$ de orden$\ell$, así que da una dimensión unidimensional. Galois-stable$\mathbb{F}_{\ell}$ - subespacio de$E[\ell]$.