Cómo evaluar esta integral gaussiana

Question

¿Hay alguna forma de resolver esta integral? $$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-(s^2+2\sqrt{t}s)}\sin(y+2\sqrt{t}s)\,ds$$ Suelo aplicar esta fórmula para integrales de este tipo $$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-(as^2+bs+c)}\,ds=\sqrt{\frac{\pi}{a}}e^{\frac{b^2}{4a}-c}$$ Gracias de antemano

Answer 1

Si estás de acuerdo en trabajar con funciones de una variable compleja, la fórmula que diste sigue siendo válida si $a,b,c\in\mathbb C$ siempre que $\mathrm{Re}[a] > 0$ . Da \begin {multline} \int_ {- \infty }^{ \infty } e^{-(s^2+2 \sqrt {t}s)} \sin (y+2 \sqrt {t}s)\N-\N-, ds = \mathrm {Im} \left [ \int_ {- \infty }^{ \infty } e^{-(s^2+2 \sqrt {t}s)}e^{i \left (y+2 \sqrt {t}s \right )}ds \right ] \\ = \mathrm {Im} \left [ \int_ {- \infty }^{ \infty } e^{-[s^2+2(1-i) \sqrt {t}s-iy]}ds \right ] = \mathrm {Im} \left [ \sqrt { \pi } \exp\left (-2it +i y \right ) \right ] = \sqrt { \pi } \sin (y-2t). \end {multline} Si no te gusta trabajar con números complejos, existen fórmulas para ello: \begin {eqnarray} \int_ {- \infty }^ \infty e^{-(as^2 + bs + c)} \sin (ks + m)ds &=& \sqrt { \frac { \pi }{a}}e^{ \frac {b^2-k^2}{4a} - c} \sin\left (m- \frac {b k}{2a} \right ) \\ \int_ {- \infty }^ \infty e^{-(as^2 + bs + c)} \cos (ks + m)ds &=& \sqrt { \frac { \pi }{a}}e^{ \frac {b^2-k^2}{4a} - c} \cos\left (m- \frac {b k}{2a} \right ) \end {eqnarray} Estas fórmulas se derivan directamente de la forma compleja de la integral que he utilizado antes, y si introduces los valores, obtendrás $\sqrt{\pi}\sin(y-2t)$ de nuevo.

Si quieres saber cómo conseguir estas fórmulas sin utilizando números complejos, bueno, eso es un post más complicado.