El conjunto de todas las secuencias estrictamente crecientes de números naturales

Question

El conjunto de todas las secuencias estrictamente crecientes ( $a_n$ ) de números naturales tiene cardinalidad $\mathbb{N}$ , $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ o $\mathcal{P}( \mathcal{P}(\mathbb{N}))$ ?

Yo respondí $\mathcal{P}(\mathcal{P}(\mathbb{N}))$ porque como el conjunto puede ser descrito por $X=\{\{\ldots, a_n, \ldots \},\{\ldots,b_n,\ldots\}, \ldots\}$ ya que no se sabe si existen secuencias limitadas (por lo que, asumiendo que todas tienen infinitos elementos), la cardinalidad de $X$ no podría ser la primera opción $\mathbb{N}$ porque considerando cualquier función $\phi : \mathbb{N} \rightarrow X$ siempre habrá elementos que no figuren en la lista de $X$ . Así que pensé que sería posible decir que $|X|\ge | \mathcal{P}(\mathbb{N})|$ y pensando que tratar de construir cualquier biyección $\varphi: \mathcal{P}(\mathbb{N}) \rightarrow X$ tampoco sería posible ya que habría elementos de $X$ no está en la lista también. Así que tengo $|X| = |\mathcal{P}( \mathcal{P}(\mathbb{N}))|$ pero me gustaría saber si he respondido correctamente y, si no, por qué.

Answer 1

Cada secuencia estrictamente creciente de números naturales corresponde a un subconjunto infinito particular de $\mathbb N$ . Así que no puede haber más secuencias de este tipo que subconjuntos.

Por otro lado, para cada subconjunto (finito o infinito) existe un subconjunto infinito (que de nuevo corresponde a una secuencia estrictamente creciente) -- por ejemplo, basta con multiplicar cada número del subconjunto original por $2$ y luego añadir todos los números de impar. Así que no puede haber más subconjuntos que secuencias.

Por Cantor-Bernstein, entonces, el conjunto de secuencias estrictamente crecientes tiene la misma cardinalidad que $\mathcal P(\mathbb N)$ .

Answer 2

Dejemos que $X$ sea el conjunto de secuencias estrictamente crecientes de números naturales.

Definir $F:X\to\mathcal P(\Bbb N)$ como $F(\{a_n\})=\{a_n:n\in\Bbb N\}$ .

Esta función es claramente inyectiva, y su imagen es precisamente el conjunto $Y=\{A\subset\Bbb N:A\text{ is infinite}\}$ .

Desde el complemento de $Y$ en $\mathcal P(\Bbb N)$ es el conjunto de subconjuntos finitos de $\Bbb N$ que es contable, entonces $|X|=|\mathcal P(\Bbb N)|$ .

Answer 3

Dejemos que $X$ sea el conjunto de secuencias estrictamente crecientes de números naturales. Entonces existe un mapa inyectivo desde $X$ a $P(\mathbb{N})$ donde $(a_{n})\to\{a_{n}\mid n\in\mathbb{N}\}$ . Por lo tanto, $$ |X|\leq|P(\mathbb{N})|\tag{0}\label{0} $$ También existe un mapa suryectivo desde $X$ a $\mathbb{N}\times (\mathbb{N}\setminus 0)^{\mathbb{N}}$ donde $a_{n}\to (a_{0}, \Delta a_n )$ . Aquí $\Delta a_n=a_{n+1}-a_{n}$ . Por lo tanto, $$ |X|\geq|\mathbb{N}\times (\mathbb{N}\setminus 0)^{\mathbb{N}}|=|\mathbb{N}^{\mathbb{N}}|=|2^{\mathbb{N}}|=|P(\mathbb{N})|\tag{1}\label{1} $$ desde $$ |2^{\mathbb{N}}| |\mathbb{N}^{\mathbb{N}}| |(2^\mathbb{N})^\mathbb{N}| = |2^{\mathbb{N}\times \mathbb{N}}| = |2^{\mathbb{N}}|. $$ Por Cantor-Bernstein a saber, $\eqref{0}$ y $\eqref{1}$ , $$ |X|=|P(\mathbb{N})|. $$