Deje $k \in \{0,1,...,n-1 \}$ $f:[0,1] \to \mathbb{R}$ ser una función continua. Si $\int_{[0,1]} x^k f(x) dx =1$ todos $k$ a continuación muestran que la $\int_{[0,1]} (f(x))^2 dx \ge n^2$.
Respuesta
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Deje $\{A_n(x)\}_{n\in\mathbb{N}}$ ser la secuencia de las desplazado polinomios de Legendre, $A_n(x)=P_n(2x-1)$.
Esta secuencia da una base ortogonal de $L^2([0,1])$ con respecto al producto escalar de a $\langle f,g\rangle = \int_{0}^{1} f(x)g(x)\,dx $:
$$\int_{0}^{1} A_n(x)\,A_m(x)\,dx = \frac{\delta_{n,m}}{2n+1}\tag{1}$$ y para cada $n\in\mathbb{N}$ tenemos que $A_n(x)$ es un grado-$n$ polinomio tal que $A_n(1)=1$.
Por ortogonalidad, para cada $k\leq n-1$: $$ \int_{0}^{1} f(x)\, A_k(x)\,dx = A_k(1) = 1 \tag{2}$$ por lo tanto, si la descomponemos $f(x)$ como: $$ f(x) = \sum_{h\geq 0} a_h A_h(x) \tag{3}$$ tenemos $a_h=2h+1$ por cada $h\leq n-1$ y el: $$ \int_{0}^{1}f(x)^2\,dx \geq \sum_{h=0}^{n-1}\frac{a_h^2}{2h+1} = \sum_{h=0}^{n-1}(2h+1)=\color{red}{n^2}\tag{4}$$ como quería.
