Jugando con las curvas planas

Question

Deje $\phi: \mathbb{R}^1 \longrightarrow \mathbb{R}^2$ ser el mapa dado por $t \mapsto (t^2,t^3)$. Estoy tratando de mostrar que cualquier polinomio $f \in \mathbb{R}[X,Y]$ fuga en la imagen de la $C = \phi(\mathbb{R}^1)$ es divisible por $Y^2-X^3$. Y lo que la propiedad de un campo de $k$ se asegurará de que el resultado vale para $\phi: k \longrightarrow k^2$ dado por la misma fórmula?

También, yo estoy tratando de hacerlo para $t \mapsto (t^2-1,t^3-t)$.

Gracias.

Answer 1

Deje $x (t) = t^2$$y (t) = t^3$, de modo que podemos escribir $\phi (t) = (x (t), y (t))$. Tenga en cuenta que $y (t) = \left( x(t) \right)^{3/2}$, que los rendimientos de $\left (y (t)\right)^2 = \left( x (t)\right)^3$ o, equivalentemente,$\left (y (t)\right)^2 - \left( x (t)\right)^3 = 0$. Por lo tanto, tenemos que $\phi (t)$ viaja a lo largo de la curva de $C = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid y^2 - x^3 = 0\}$, el cual se muestra a continuación

Tenga en cuenta que para $t < 0$, $\phi (t)$ se acostará en el 4º cuadrante y enfoque el origen, desde el infinito, mientras que para $t > 0$ se encuentran en el 1er cuadrante y viajar desde el origen hasta el infinito.

Cada polinomio $f \in \mathbb{R}[X,Y]$ que se desvanece en la curva de $C$ puede ser factorizado como sigue

$f (X, Y) = (Y^2 - X^3)^n \, g (X, Y)$

donde $n \geq 1$ $g \in \mathbb{R}[X,Y]$ no desaparecen en $C$, y por lo tanto es divisible por $(Y^2 - X^3)$. No tengo idea de lo que la propiedad de un campo de $\mathbb{K}$ es necesario para que el resultado se mantenga para el caso de $\phi : \mathbb{K} \to \mathbb{K}^2$.

Answer 2

Por Euclidiana de la división de podemos escribir cualquier polinomio $f(X,Y)\in k[X,Y]$$f(X,Y)=(Y^2-X^3)g(X,Y)+u(X)Y+v(X)$$f(X,Y)\in k[X,Y]$$u(X), v(X)\in k[X]$. Por lo tanto en la curva de nosotros ( por la sustitución de $X=t^2, Y=t^3$) $0=f(t^2,t^3)=((t^3)^2-(t^2)^3)g(t^2,t^3)+u(t^2)t^3+v(t^2)=u(t^2)t^3+v(t^2)$.
La igualdad de $u(t^2)t^3+v(t^2)=0$ todos los $t\in k$ fuerzas de la polinomio $u(T^2)T^3+v(T^2)$ a ser cero si $k$ es infinito (como Matt le dijo a usted en su comentario).
Y esto a su vez obliga a los polinomios $u(X),v(X)\in k[X]$ a ser cero, porque en $u(T^2)T^3+v(T^2)=0$ el primer sumando sólo tiene impar monomials y el segundo sólo monomials.

Conclusión
Si $k$ es un infinito campo, cualquier polinomio de fuga en la curva de $y^2-x^3=0$ es un múltiplo de a $Y^2-X^3$

Un contraejemplo
El resultado es false para finito campos: por ejemplo, si $k=\mathbb Z/2\mathbb Z$, compruebe que el polinomio $X+Y$, que definitivamente no es un múltiplo de a $Y^2-X^3$, se desvanece en todos los puntos de la curva de $y^2-x^3=0$ (que es en los puntos de ...?)