Puede el toro y la botella de Klein ser pensado como $\mathbb{R}^2/G$ $G$ de un número finito de grupo que actúa libremente

Question

Recientemente he probado el siguiente ejercicio,

Deje $G$ ser finito grupo que actúa libremente en un (compacto) topológica colector de dimensión $n$. A continuación, $X/G$ es un (compacto) colector de dimensión $n$.

He hecho esto en el contexto de un curso de introducción a la topología: por lo tanto, no hemos hablado acerca de algo mucho más profundo que la definición de colector de sí mismo. Más aún, el mencionado ejercicio fue guiada.

En el mismo espíritu, no es un ejercicio que pide para demostrar que el toro y la botella de Klein se $2$-dimensiones de los colectores. Supongo que esto puede ser probado "manualmente" es decir, mirando una construcción explícita del cociente de $[0,1]^2$. Sin embargo, quiero saber si hay una prueba de que implican una acción libre de un grupo finito actuando en $\mathbb{R}^2$. Cualquier sugerencias sería muy apreciada.

Answer 1

Si bien no es un grupo finito, $\Bbb{Z}^2$ actúa en $\Bbb{R}^2$ por la traducción (concretamente $(n,m) \cdot (a,b) :=(a+n,b+m)$) y el toro surge como el cociente de un espacio para esta acción.

Igualmente, os $f,g:\Bbb{R}^2\to \Bbb{R}^2$ ser el bijections dado por $(a,b)\mapsto (a,b+1)$ e $(a,b)\mapsto (a+1, 1-b)$ respectivamente. Si $G$ denota la (infinito!) grupo generado por $f$ e $g$, el cociente $\Bbb{R}^2/G$ es la botella de Klein. Usted puede comprobar esto mediante la inspección de cómo los puntos en $[0,1]^2$ son identificados por la acción.

En ambos casos, la acción es propiamente discontinua: esto asegura que cada punto en el cociente tiene un localmente euclídeo barrio (ya que el cociente mapa es un local homeomorphism). El hecho de que $\Bbb{R}^2/G$ es Hausdorff no es automática, sino que está implícita en la hipótesis de

para cada una de las $x,y\in\Bbb{R}^2$ con distinto órbitas, existen barrios $U\ni x$, $V\ni y$ tal que $gU\cap V$ está vacía para cada una de las $g\in G$,

que se comprueba fácilmente en ambos ejemplos (y es, de hecho, automática, siempre que $G$ es finito).

Answer 2

1. Hay algunas hermosas topológica de la maquinaria que usted puede aprender acerca de la llamada que cubre el espacio de la teoría, y que nos dice mucho acerca de los cocientes como este. Entre otras cosas, le dice que si $X$ es simplemente conectado y $G$ es un grupo finito de actuar libremente en él, a continuación, $X$ es de un número finito de cubrir el espacio de $X/G$, e $X/G$ tiene grupo fundamental de la $G$.

2. El toro y la botella de Klein ambos tienen infinitas fundamentales de los grupos. También, cualquier cociente $\mathbb{R}^2/G$ sería noncompact, y el toro y la botella de Klein son compactos. Así que estas son las dos maneras de ver que no puede ocurrir como un cociente $\mathbb{R}^2/G$ para $G$ finito; ambos se producen como un cociente, pero para $G$ infinito.

3. Cada finito cubrir el espacio del toro es otro toro, lo que significa que si $X$ es cualquier colector y $G$ de un número finito de grupo que actúa libremente en que se $X/G \cong T^2$, a continuación, $X$ sí ya debe ser un toro. Por lo que es imposible utilizar esta técnica para demostrar que no circularmente que el toro es un colector. Por otro lado, el toro es la orientación de doble tapa de la botella de Klein, es decir, que hay una acción cíclica grupo $C_2$ orden $2$ sobre el toro cuyo cociente es la botella de Klein.

4. Afortunadamente, es más fácil que para probar que el toro y la botella de Klein son los colectores.

Lo que el cubrir el espacio de los argumentos más revelan es la siguiente quizás sorprendente realidad: no trivial finito grupo actúa libremente en $\mathbb{R}^2$, debido a que la única superficie conectada con trivial finito grupo fundamental de la es $\mathbb{RP}^2$, cuya cobertura universal es $S^2$, no $\mathbb{R}^2$.