¿Cómo debo resolver integrales de este tipo?

Question

La forma general de la integral que quiero resolver es:

$$ \int e^{bx}\sin(ax) dx$$

La fórmula de Euler tiene una conexión interesante, pero la i la hace demasiado complicada.

Hacerla por partes no parece llevarme a ninguna parte.

¿Tienes algún consejo sobre cómo empezar a resolver esto?

Answer 1

Esto está relacionado con una pregunta clásica de integración por partes. Va así.

Llama a la integral original $I$, por razones que verás en un momento. Entonces tenemos

$$\begin{align} \int \sin(ax)\exp(bx) \mathrm dx &= \sin(ax) \frac{\exp(bx)}{b} - \frac{a}{b} \int \cos(ax) \exp(bx) \mathrm dx \\ &= \sin(ax) \frac{\exp(bx)}{b} - \frac{a}{b} \left(\cos(ax) \frac{\exp(bx)}{b} - \frac{a}{b}\int\cos(ax)\exp(bx) \mathrm dx\right) \\ &= \sin(ax) \frac{\exp(bx)}{b} - a\cos(ax) \frac{\exp(bx)}{b^2} + \frac{a^2}{b^2}I, \end{align}$$

para que podamos reunir los términos de $I$ en la izquierda para ver que

$$ I\left(1 + \frac{a^2}{b^2}\right) = \sin(ax) \frac{\exp(bx)}{b} - a\cos(ax) \frac{\exp(bx)}{b^2}.$$

En total,

$$ I = \left(1 + \frac{a^2}{b^2}\right)^{-1}\left(\sin(ax) \frac{\exp(bx)}{b} - a\cos(ax) \frac{\exp(bx)}{b^2}\right).$$

Es un poco ingenioso y un poco genial si nunca has visto esto antes. (Y omití la constante de integración, así que realmente es esto $+ C$).

Answer 2

Otra forma: supongamos que la respuesta tiene la forma $$\int e^{bx} \sin(ax) = c_1 e^{bx} \cos(ax) + c_2 e^{bx} \sin(ax)$$ diferenciamos ambos lados e igualamos los coeficientes de $e^{bx} \cos(ax)$ y $e^{bx} \sin(ax)$: $$ \eqalign{ 0 &= b c_1 + a c_2\cr 1 &= -a c_1 + b c_2\cr}$$ Entonces, resolvemos para $c_1$ y $c_2$.

Answer 3

Una agradable variación del método estándar según la respuesta de @mixedmath: permitir que $$I=\int e^{bx}\sin ax\,dx\quad\hbox{y}\quad J=\int e^{bx}\cos ax\,dx\ .$$ Integrando ambos por partes obtenemos $$I=\frac{1}{b}e^{bx}\sin ax-\frac{a}{b}J\quad\hbox{y}\quad J=\frac{1}{b}e^{bx}\cos ax+\frac{a}{b}I\ ;$$ ahora tratar estos como dos ecuaciones en las incógnitas $I$ y $J$, y resolver.

Answer 4

Otra forma de explotar la conexión con la función exponencial compleja es usar $ \ e^{i \cdot ax} \ $ como el factor $ \ \cos (ax) \ + \ i \ \sin (ax) \ $ . Si ahora integramos

$$ \ \int \ e^{bx} \ \cdot \ e^{i \cdot ax} \ \ dx \ \ = \ \ \int \ e^{(b + ia) \cdot x} \ \ dx \ \ = \ \ \frac{1}{b \ + \ ia} \ e^{(b + ia) \cdot x} \ \ , $$

tratando el número complejo de la misma manera que cualquier constante real en una integral similar, obtenemos

$$ \frac{b \ - \ ia}{a^2 \ + \ b^2} \ \cdot \ e^{bx} \ [ \ \cos (ax) \ + \ i \ \sin (ax) \ ] \ \ . $$

Lo bueno de esta técnica es que obtenemos un "dos por uno" (y no necesitamos integración por partes): separar las partes real e imaginaria de esta antiderivada, después de multiplicarla, y relacionarlas con las partes correspondientes del integrando, nos da

$$ \ \int \ e^{bx} \ \cos(ax) \ \ dx \ \ = \ \ e^{bx} \ \left[ \ \frac{b}{a^2 \ + \ b^2} \ \cos (ax) \ + \ \frac{a}{a^2 \ + \ b^2} \ \ \sin (ax) \ \right] $$

y

$$ \ \int \ e^{bx} \ \sin(ax) \ \ dx \ \ = \ \ e^{bx} \ \left[ \ \frac{b}{a^2 \ + \ b^2} \ \sin (ax) \ - \ \frac{a}{a^2 \ + \ b^2} \ \ \cos (ax) \ \right] \ \ . $$

Answer 5

Al usar la versión exponencial del seno: \begin{align} \int e^{bx} \ \sin(ax) \ dx &= \frac{1}{2i} \int \left( e^{(b+ai)x} - e^{(b-ai)x} \right) \ dx \\ &= \frac{1}{2i} \left[ \frac{e^{(b+ai)x}}{b+ai} - \frac{e^{(b-ai)x}}{b-ai} \right] \\ &= \frac{1}{2i (b+ai)(b-ai)} \left[ (b-ai) e^{(b+ai)x} - (b+ai)e^{(b-ai)x} \right] \\ &= \frac{1}{2i(b^{2}+a^{2})} \left[ b \ e^{bx} \left(e^{ai x} - e^{-ai x} \right) - (ai) e^{bx} \left( e^{ai x} + e^{-ai x} \right) \right] \\ &= \frac{e^{bx}}{b^{2} + a^{2}} \left[ b \sin(ax) - a \cos(ax) \right] \end{align>

Al usar integración por partes: \begin{align> \int e^{bx} \ \sin(ax) \ dx &= \frac{1}{b} e^{bx} \sin(ax) - \frac{a}{b} \int e^{bx} \ \cos(ax) \ dx \\ &= \frac{1}{b} e^{bx} \sin(ax) - \frac{a}{b^{2}} e^{bx} \cos(ax) - \frac{a^{2}}{b^{2}} \int e^{bx} \ \sin(ax) \ dx \end{align> que es \begin{align> \left( 1 + \frac{a^{2}}{b^{2}} \right) \int e^{bx} \ \sin(ax) \ dx = \frac{1}{b} e^{bx} \sin(ax) - \frac{a}{b^{2}} e^{bx} \cos(ax) \end{align> o \begin{align> \int e^{bx} \ \sin(ax) \ dx = \frac{e^{bx}}{b^{2} + a^{2}} \left[ b \sin(ax) - a \cos(ax) \right] \end{align>