Hace un reloj que oscila en un libre de fricción agujero a través del centro de un planeta de ejecución más lento que parado el reloj en la superficie?

Question

Suponga que un reloj se deja caer en un libre de fricción agujero a través del centro de una simétrica, no giratorio del planeta, lejos de cualquier otro objeto masivo. Claramente, el péndulo oscila de un extremo del agujero al otro para siempre, y, ya que está sujeto a la dilatación del tiempo debido a la velocidad relativa y la aceleración, se ejecuta más lentamente que un reloj estacionario en el centro del planeta. Pero, ¿funcionan más lentamente que un reloj estacionario en la superficie, que está sujeto únicamente a la aceleración de la gravedad, o no mantener la hora exacta con la superficie del reloj? Creo que funciona exactamente la misma que la de la superficie del reloj. Estoy en lo cierto?

[Añadido 10/20/2015 4PM] Gracias por las respuestas, pero indican que necesito aclarar mi pregunta y explicar mi razonamiento.

1) Mi "planeta" (a diferencia de la Tierra) es "simétrica" (esfera perfecta de densidad constante), "no giratorio" y "lejos de cualquier otro objeto masivo" (no en órbita alrededor de una estrella).

2) En el instante en que el reloj se dejó caer en el libre de fricción agujero, que es adyacente a la superficie de reloj y son ambos cero. La primera vez que pasa por el centro del reloj, que el reloj todo el tiempo en la oscilación del reloj.

3) Después de muchos ciclos, como la oscilación del reloj pasa a cada uno de los otros relojes, los tiempos son comparados y, si la oscilación del reloj de tiempo es sustancialmente menor, se dice que han sido objeto de más tiempo-dilatación de en el centro y/o de la superficie del reloj, y vice-versa. Si los tiempos son iguales, o casi teniendo en cuenta la exactitud y la precisión de los relojes, se dice que tienen el mismo tiempo de la dilatación. Creo que la oscilación del reloj se han ejecutado más lentamente que el centro de reloj (más el tiempo de dilatación), y el equivalente a la superficie de reloj, por las razones en los siguientes puntos. (Por favor, corrígeme si me equivoco.)

4) Dejar que el origen de la referencia marco inercial de ser el centro del planeta. El centro de reloj está "en reposo" en ese marco, en el cero de la velocidad y la gravedad cero. La superficie del reloj no se mueve, pero está sujeto a la gravedad, y por lo tanto más tiempo-dilatación de en el centro del reloj.

5) La oscilación del reloj está sujeto a cantidades variables de velocidad y/o la gravedad. Cuando adyacente a la superficie del reloj, se detiene momentáneamente y cambia de dirección. En ese instante, es a velocidad cero y la misma gravedad en la superficie del reloj, y lo que se ejecuta a la misma velocidad (mismo tiempo-dilatación) como la superficie del reloj.

6) Cuando la oscilación del reloj es adyacente al centro de reloj, es a la máxima velocidad y la gravedad cero. ¿Cuál es el máximo de velocidad? Por conservación de la energía, la energía cinética del reloj, como se cremalleras pasado el centro, es exactamente igual a la energía potencial gravitacional el reloj tenía cuando se deja caer desde la superficie. Por lo tanto, la velocidad máxima pasa a ser la velocidad de escape en la superficie, ya que la velocidad de escape a la perpendicular a la superficie se define como la velocidad, donde la energía cinética es exactamente igual en magnitud a la energía potencial gravitatoria, y (suponiendo que no hay atmósfera) un cohete que va a continuar su viaje en el espacio para siempre.

7) el Tiempo de dilatación debido a la energía potencial gravitatoria de un reloj estacionario en la superficie de un planeta es exactamente igual a la del tiempo de dilatación debido a la energía cinética de un cohete en el espacio profundo que se mueve a la velocidad de escape a la correspondiente a la superficie de ese planeta. Por conservación de la energía, como la oscilación del reloj traslados de ida y vuelta entre los extremos de la fricción-free hole, su energía total (la combinación de la energía cinética y potencial gravitatoria) permanece constante, y exactamente igual a la energía potencial gravitacional de la superficie del reloj. Por lo tanto, creo que la oscilación del reloj de experiencia en exactamente el mismo tiempo-la dilatación de la superficie del reloj.

Answer 1

Hay dos efectos que causa la dilatación del tiempo:

1. la velocidad de la caída de reloj

2. el de la dilatación del tiempo gravitacional

El argumento implícito en la pregunta es que estos dos efectos pueden cancelar, hacer que la caída de la ejecución de reloj a la misma velocidad que un reloj en la superficie.

En realidad el cálculo de la dilatación del tiempo es un problema difícil, ya que requiere la solución de la ecuación geodésica para la Schwarzschild interior de la métrica. Incluso que es sólo una aproximación, porque el de Schwarzschild interior métrica sólo se aplica a una esfera de densidad uniforme, mientras que la Tierra no es una esfera ni de densidad uniforme. En la práctica, el cálculo deberá llevarse a cabo de forma numérica.

Sin embargo, no podemos responder a su pregunta muy fácilmente, ya que ambos efectos se $1$ $2$ hacer que la caída de la ejecución de reloj más lentamente, por lo que en general la caída de reloj debe ejecutarse más lentamente que el reloj en la superficie.

Es tentador pensar que, debido a la aceleración de la gravedad cae a cero a medida que nos acercamos al centro de la Tierra, a continuación, la dilatación del tiempo también debe caer a cero. Sin embargo, la dilatación del tiempo es la persona a cargo en el potencial gravitacional no la aceleración de la gravedad. Para una primera aproximación a la dilatación del tiempo está dada por la débil expresión de campo:

$$ \frac{dt_{falling}}{dt_{surface}} = \sqrt{1 + \frac{2\Delta\Phi}{c^2}} \tag{1} $$

donde $\Delta\Phi$ es la diferencia entre el potencial gravitacional de la caída en el reloj y el potencial gravitacional del reloj en la superficie. Obviamente, la energía potencial disminuye a medida que descendemos hacia el centro, que es por qué las cosas caen hacia abajo. Eso significa que $\Delta\Phi \le 0$, y por lo tanto el lado derecho de la ecuación (1) debe ser menor que uno:

$$ \frac{dt_{falling}}{dt_{surface}} \le 1 $$

En otras palabras, la dilatación del tiempo es mayor, no menor, a medida que descendemos en la Tierra. Así que la caída de reloj debe ejecutarse más lentamente que un reloj en la superficie.

Los detalles:

Ya Ira le pregunta acerca de los detalles aquí están - los no iniciados puede desear huir gritando.

Vamos a empezar por mirar un reloj en movimiento en un plano espacio-tiempo es decir, no hay gravedad. Vamos a empezar con esto porque es más sencillo, a continuación, vamos a ampliar el cálculo para incluir la gravedad. En el plano espacio-tiempo de la métrica es la métrica de Minkowski:

$$ c^2d\tau^2 = c^2dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2 \tag{2} $$

La cantidad de $\tau$ es el tiempo en el marco del resto del reloj, mientras que $t$ es el tiempo medido en nuestro marco como el que estamos viendo el reloj. Del mismo modo $x$, $y$ y $z$ son el reloj de coordenadas espaciales en nuestro marco. La métrica nos dice que si observamos el reloj para mover un infinitesimal distancia a través del espacio-tiempo de $(dt, dx, dy, dz)$, entonces la métrica nos dice cómo calcular el correspondiente tiempo transcurrido $d\tau$ para el reloj.

En este caso, el reloj se mueve radialmente, así que vamos a tomar el $x$ eje para ser el $r$ eje y no hay movimiento en el $y$ $z$ ejes. La ecuación (2) se simplifica a:

$$ c^2d\tau^2 = c^2dt^2 - dr^2 \tag{3} $$

En el marco de la velocidad del reloj es sólo $v = dr/dt$$dr = vdt$. Si sustituimos esto en la ecuación (3) obtenemos:

$$ c^2d\tau^2 = c^2dt^2 - v^2dt^2 $$

y una rápida reorganización da:

$$ d\tau = dt \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \frac{dt}{\gamma} $$

Donde $\gamma$ es el factor de Lorentz. Inmediatamente debe reconocer esto como la habitual fórmula de la dilatación del tiempo en la relatividad especial. Debido a que el factor de Lorentz $\gamma \gt 1$ encontramos el reloj de tiempo $d\tau$ es menor que el tiempo de $dt$ es decir, el movimiento del reloj está funcionando lento. Hasta ahora tan bueno.

Donde las cosas se ponen difíciles es que la curvatura del espacio-tiempo causada por la masa de la Tierra también afecta a la dilatación del tiempo, y esto se hace cambiando la métrica es decir, la ecuación (2) anteriormente. Si nos aproximan a la Tierra por parte de una esfera de densidad uniforme, a continuación, la geometría del espacio-tiempo en el interior de la Tierra está dada por la Schwarzschild interior de la métrica:

$$ c^2d\tau^2 = \left[\frac{3}{2}\sqrt{1-\frac{2M}{R}} - \frac{1}{2}\sqrt{1-\frac{2Mr^2}{R^3}}\right]^2c^2dt^2 - \frac{dr^2}{\left(1-\frac{2Mr^2}{R^3}\right)} - r^2 (d\theta^2 + sin^2\theta d\phi^2) $$

Para el movimiento radial $d\theta = d\phi = 0$, y como antes el de la velocidad radial es$v(r) = dr/dt$$dr = v(r)dt$, donde la velocidad de $v(r)$ es ahora una función de $r$. Haciendo estas sustituciones y reordenando se obtiene:

$$ \frac{d\tau}{dt} = \sqrt{\left(\frac{3}{2}\sqrt{1-\frac{2M}{R}} - \frac{1}{2}\sqrt{1-\frac{2Mr^2}{R^3}}\right)^2 - \frac{v^2(r)}{c^2}\frac{1}{\left(1-\frac{2Mr^2}{R^3}\right)}} $$

Y esta es la ecuación que usted pidió es decir, la ecuación para la dilatación del tiempo factor de $d\tau/dt$, aunque tenga en cuenta que esta ecuación nos da el tiempo dialtion relativa a un observador en el infinito no en la superficie de la Tierra.

Tenga en cuenta que el lado derecho contiene $r$ y la función de la velocidad de la $v(r)$. Esta función $v(r)$ es la velocidad del reloj a medida que cae a través de la Tierra, y para calcular con precisión requeriría la solución de la ecuación geodésica. Sin embargo, dado que la dilatación del tiempo sería pequeño sería una buena aproximación para el uso de la $v(r)$ calculado utilizando la mecánica Newtoniana. Voy a dejar esto como un ejercicio para el lector.

Para obtener la dilatación del tiempo estacionarios reloj acaba de establecer $v(r) = 0$.

Answer 2

Suponga que un reloj se deja caer en un libre de fricción agujero a través del centro de una simétrica, no giratorio del planeta, lejos de cualquier otro objeto masivo. Claramente, el péndulo oscila de un extremo del agujero al otro para siempre,

Yo esperaría que la amplitud de oscilación para disminuir gradualmente; pero tal vez sólo muy poco a poco, en comparación con el (inicial) el periodo de oscilación.

ya que está sujeto a la dilatación del tiempo debido a la velocidad relativa y la aceleración, se ejecuta más lentamente que un reloj estacionario en el centro del planeta.

Eso es incorrecto. No: Con el fin de comparar las duraciones de las $\Delta \tau$ de (estos) dos relojes entre otros se debe tomar en cuenta sus relaciones geométricas (velocidad relativa, aceleración, ...) mientras estaban separados unos de otros.

Pero con el fin de comparar las tasas de $\frac{\Delta t}{\Delta \tau}$ entre los relojes, como para determinar que uno de ellos había "más lenta" y que había "más rápida", o si ambos tenían "correr igual de rápido" en un juicio en virtud de la consideración, también tendríamos que saber y dar cuenta de cómo las lecturas de $t$ fueron asignados a reloj.

Lo que puede decirse es que la duración de la caída y oscilante del reloj de haber encontrado al planeta de la superficie una vez hasta haber encontrado a la superficie del planeta la próxima vez es mayor que el (correspondiente) duración de un reloj estacionario en el planeta de la superficie de haber encontrado a la oscilación del reloj una vez hasta haber encontrado la oscilación del reloj la próxima vez. (De nuevo: esto por sí solo no permite conclusiones acerca de la comparación de sus "ejecución de las tasas", porque no sabemos cómo los valores (lecturas) $t$ son asignados a la descrita encuentro las indicaciones de un reloj, o el otro).

Buscando su lugar en un estacionario reloj en el centro del planeta, yo esperaría que sus duraciones de haber sido aprobada por la oscilación del reloj una vez, hasta que de haber sido aprobada por la oscilación del reloj es igual a la (correspondiente) duración de la oscilación del reloj de haber sido aprobada por el reloj (en el) centro de el planeta de una vez, hasta que de haber sido aprobada por el reloj (en el) centro de el planeta de nuevo. (De nuevo: esto por sí solo no permite conclusiones acerca de la comparación de sus "ejecución de las tasas", porque no sabemos cómo los valores (lecturas) $t$ son asignados a la descrita encuentro las indicaciones de un reloj, o el otro).