Trabajar con morfismos en coordenadas locales

Question

Con motivo de las vacaciones, me gustaría exponer una queja.

No tengo una buena manera de recoordenar un morfismo de variedades cuando me muevo entre vecindades de coordenadas.

Permítanme explicar lo que quiero decir con un ejemplo. Consideremos la variedad afín $E_Y$ recortada por la ecuación

$$Z + Z^2 - (X^3 + ZX^2) = 0 \mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ } (1)$$

El cierre proyectivo de $E_Y$ que denotaremos por $E,$ es una curva elíptica con elemento de identidad $O:=(0,0)$ en $X,Z$ -coordenadas.

Así que hay un morfismo de adición $\mu:E\times E \rightarrow E$ y un morfismo inverso $-:E \rightarrow E.$ Un cálculo muestra, $-\mu$ viene dada por

$$X(-\mu) = \frac{(z_1 -z_0)^2 - (x_1 -x_0)(x_1z_0 - x_0z_1)}{(x_1 -x_0)^2 + (x_1 - x_0)(z_1 - z_0)} - x_0 - x_1$$

$$Z(-\mu) = \frac{z_1 - z_0}{x_1 -x_0}\left(\frac{(z_1 -z_0)^2 - (x_1 -x_0)(x_1z_0 - x_0z_1)}{(x_1 -x_0)^2 + (x_1 - x_0)(z_1 - z_0)} - x_0 - x_1\right) + \frac{x_1z_0 - x_0z_1}{x_1 -x_0} $$

en $E_Y \times E_Y$ fuera del locus $(x_1 -x_0)^2 + (x_1 - x_0)(z_1 - z_0) = 0.$

Me gustaría expresar el morfismo $-\mu$ en términos de funciones regulares en alguna vecindad abierta de $O \times O,$ pero mi método actual para obtener dicha expresión es "mover los símbolos" en mi expresión para $-\mu$ utilizando la relación de la curva, $(1),$ hasta obtener una expresión regular en $(0,0) \times (0,0).$ Esto suele ser una enorme pérdida de tiempo y resulta casi imposible a medida que las ecuaciones que definen la variedad se complican.

Así que me pregunto si hay una forma más metódica de abordar este problema. ¿Cómo se hace esto en la práctica?

Answer 1

No sé cuánto le ayudará esto en general, pero así es como yo trataría su ejemplo particular:

Poner $dx = x_1 - x_0$ y $dz = z_1 - z_0$ , por lo que tiene un problema en $dx(dx+dz)=0$ . A continuación, escriba $$X(- \mu) = \frac{dz^2-dx(z_0dx-x_0dz)}{dx(dx+dz)}- x_0-x_1 $$ Puede ver que $X(- \mu)$ (así como $Z(- \mu)$ ) es homogénea de grado $0$ en $dx,dz$

De su ecuación $z+z²=x^3+zx²$ con un proceso análogo al de la diferenciación, se obtiene $dx(x_1^2+x_0x_1+x_0^2+z_0x_0+z_0x_1) = dz(1+z_1+z_0-x_1^2)$

Esto le permite reemplazar $dx$ con $1+z_1+z_0-x_1^2$ y $dz$ con $x_1^2+x_0x_1+x_0^2+z_0x_0+z_0x_1$ en sus expresiones, y se obtiene una función racional con denominador $dx(dx+dy) = 1 + \ldots$ para $X$ y $dx^2(dx+dy) = 1 + \ldots$ para $Z$ por lo que son válidos en un barrio de $(0,0) \times (0,0)$ .