Diffeomorphic conectado hypersurfaces

Question

Dado un cuatro dimensiones de Lorenz colector $\mathcal{M}$ (un colector con una métrica $g_{\mu\nu}$ en la tangente de un paquete con la firma (-1, 1, 1, 1)), definimos un mundial espacial foliación por un tiempo-como la del vector de campo ($n^\mu{}n^\nu{}g_{\mu\nu} = -1$). Es cierto que, dada una foliación definida por un tiempo-como campo de vectores $v^\mu$ hay (al menos uno) un diffeomorphism $\Upsilon:\mathcal{M}\rightarrow\mathcal{M}$ generado por un campo de vectores $A^\mu$ tal que $v^\mu = \exp(\mathcal{L}_A)n^\mu$ donde $\mathcal{L}$ representa la Mentira de derivada e $\exp(\mathcal{L}_A)$ la exponencial mapa generado por ella?

Si es cierto, es que hay una buena referencia para este resultado?

Answer 1

Aquí están los detalles de mi comentario.

La respuesta a tu pregunta (sin más supuestos) es negativo. Aquí es un ejemplo.

Considere la posibilidad de $R^{3,1}$ el (estándar) plano Lorenztian métrica $x_1^2+x_2^2+x_3^2-x_4^2$. Deje $\Gamma$ ser discreto grupo de isometría de $R^{3,1}$ consta de las traducciones realizadas por los vectores con coordenadas enteras. El cociente $M=R^{3,1}/\Gamma$ es el 4-dimensional toro con tv de Lorenztian métrica. A continuación, vamos a $\tilde \nu$ (paralelo) campo de vectores en $R^{3,1}$ consta de los vectores paralelos al vector $(0,0,0,1)$ y deje $\tilde n$ ser el paralelo de campo vectorial definido de forma similar, utilizando el vector $(t,t,t,1)$ donde $0<t<1/\sqrt{3}$ es un pequeño número irracional (es entonces también el tiempo-como). A continuación, tome $\nu$ $n$ a de ser proyecciones de los campos vectoriales $\tilde\nu, \tilde n$ a el 'toro'$M$. La normal foliación a $\tilde \nu$ es horizontal hyperplanes. Cada hoja de los proyectos a las 3 dimensiones toro en $M$, lo que nos da una foliación de $M$ normal $\nu$. Por otro lado, cada hyperplane normal a $n$ proyectos a una hipersuperficie que es denso en $M$ (este es un irracional foliación de $M$ normal $n$). Ahora bien, es claro que no hay homeomorphism $M\to M$, lo que lleva a una foliación a la otra.

Mi conjetura es que tu pregunta tiene respuesta positiva (pero el diffeomorphism podría ser más complejo que el que usted está tratando de construir) en la configuración siguiente: Tanto en $\nu$ $n$ son normales para productos foliaciones, se define a continuación.

Definición. Una foliación $F$ $M$ es un producto de la foliación, si existe una diffeomorphism $h: M\to X\times {\mathbb R}$ donde $X$ es un compacto de 3 dimensiones del colector, de forma tal que $h$ envía hojas de $F$ a submanifolds de la forma $X\times \{t\}, t\in {\mathbb R}$.