$f(z_1 z_2) = f(z_1) f(z_2)$ $z_1,z_2\in \mathbb{C}$ $f(z) = z^k$ algunos $k$

Question

Mismo que el de mi anterior pregunta, salvo dominio es complejo. He intentado suponiendo que la función es analítica, por lo que para $z_1=z_2=z$ , $f(z^2) = f(z)^2$ $$\sum_{n=0}^\infty a_n z^{2n}=\left(\sum_{n=0}^\infty a_n z^n\right)^2$$ and try to solve it. Ideally, I should have something like $a_n=0$ para todos, pero uno k. y que debe demostrarlo.

Esta pregunta, con $z_1=z_2$ fue preguntado hoy , pero no he sido capaz de entender sus respuestas.

Answer 1

Esta pregunta es muy similar a la de otros.

Aviso que la constante de la función cero es una solución. Para el resto de esta respuesta, supongo que $f$ no es idéntica $0$.

En primer lugar, vamos a $z_1=0$. A continuación, $f(0)=f(0)f(z_2)$ todos los $z_2$. Permite dividir en los casos en que bien $f(0)=0$ o $f(0)\neq 0$.

Caso 1: Supongamos $f(0)\neq 0$. A continuación, en la ecuación de $f(0)=f(0)f(z_2)$ podemos dividir por $f(0)$ y a la conclusión de que $f(z_2)=1$ todos los $z_2$, lo $f$ debe ser la constante de la función $1$.

Caso 2: Supongamos $f(0)=0$. Como $f$ es analítica, podemos escribir $f(z)=z^k g(z)$ para algunos analítico $g$ donde $g(0)\neq 0$. Esta función $g$ debe cumplir los mismos funcional de la ecuación de $f$ (żpor qué?). Por lo tanto, por el caso 1, se sigue que $g=1$, y llegamos a la conclusión de $f(z)=z^k$.

Espero que ayude,

Answer 2

Deje $k=f'(1)$. Definir $f_a(z)=f(az)=f(a)f(z)$. Diferenciando por $z$ obtenemos:

$$f_a'(z) = a f'(az) = f(a) f'(z)$$

Establecimiento $z=1$, obtenemos que $a f'(a) = k f(a)$ arbitrarias $a$. Escribiendo esto como una igualdad de poder de la serie y que nos ponen, que $k$ debe ser un entero no negativo, y que $f(a)=a^k$, o que $f(a)=0$ todos los $a$.

[Esto supone que $f$ se define en $1$$0$. Obviamente, hay ejemplos en los que no está definido en $z=0$ - los casos en que $k<0.$]

Si $f(1)$ está definido, entonces no necesitamos la $f(0)$ porque podemos reescribir la anterior como: $f'(a)/f(a) = k/a$ al$a\neq 0$$f(a)\neq 0$. Pero el lado izquierdo es el derivado de la $\log f(z)$ por alguna rama del logaritmo natural, y el lado derecho es la derivada de la $k \log z$ por alguna rama de $\log$. Por lo $f(z) = e^{\log f(z)} = K e^{k \log z} = K z^k$ en algunos región alrededor de $a$, y por lo tanto todo el dominio de $f$ (suponiendo que el dominio está conectado?)

Si $f(a)=0$, por otro lado, a continuación, $f(ax)=0$ todos los $x$ cerca de $1$, lo que significaría que $f$ es cero en algunos pelota alrededor de $a$, lo $f$ es idéntica a cero.