Tengo una pregunta sobre la definición de $d^*$ . Se suele definir como el adjunto (formalmente) de $d$ ? ¿qué significa formalmente?, no es sólo el adjunto de $d$ Gracias
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Nick
Puntos
3716
El adjunto formal de un operador diferencial con respecto a una densidad suave $\mu$ es, intuitivamente hablando, lo que debe ser contiguo según la integración por partes, o, lo que es lo mismo, lo que realmente es adjunto cuando se restringe a, digamos, funciones suaves con soporte compacto (o formas diferenciales en su caso, o secciones de cualquier haz vectorial...)
El adjunto formal es el antiautomorfismo del álgebra de operadores diferenciales dado por $f^\ast = f$ para las funciones y $(v\partial)^\ast = -v\partial + \mu^{-1}\mathcal{L}_v \mu$ para los campos vectoriales, donde $\mathcal L$ es la derivada de Lie.
La diferencia entre adjunto "formal" y "real" es una cuestión sutil de la teoría de operadores: cuando se habla de operadores adyacentes en el espacio de Hilbert hay que preocuparse por los dominios, las extensiones, ..., y aquí sólo se toma la expresión diferencial formal, sin mencionar dónde actúa exactamente el operador.
Voy a responder brevemente a dos preguntas. En primer lugar, ¿qué significa la expresión "adjunto formal" en este contexto? En segundo lugar, ¿cómo es el adjunto $d^*$ ¿realmente definido?
Definiciones: $\Omega^k(M)$ ( $M$ un suave orientado $n$ -con una métrica de Riemann) es un espacio pre-Hilbert con norma $$\langle \omega,\eta\rangle_{L^2} = \int_M \omega\wedge *\eta.$$ (Aquí, $*$ es el Operador Hodge .)
Para la primera pregunta, el "adjunto formal" del operador $d$ es el operador $d^*$ (si existe, de algún espacio de funciones a algún otro espacio de funciones) que tenga la propiedad $$\langle d\omega,\eta\rangle_{L^2} = \langle \omega,d^*\eta\rangle_{L^2}.$$
Para la segunda pregunta, el operador $d^*$ se define en realidad como un mapa $\Omega^{k+1}(M)\to\Omega^k(M)$ al establecer $$d^* = *d*.$$
La contigüidad se demuestra utilizando la integración por partes y el teorema de Stokes.
