Matemáticas Olimpiada de problema relacionado con los círculos?

Question

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Dado:

HG es la tangente común a circle C y J.

Probar:

$\angle{HFI} = \angle{HFG}$ o $HF$ biseca $\angle{GFI}$

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Mi intento:

$$\angle{FHG} + \angle {HGL} = \angle{LIF} + \angle {LFI}$$

$$\begin{align} \Rightarrow \angle{LFI} = &\angle{FHG} + \angle {HGL} - \angle {LIF} \\ = &\angle{IFG} + \angle {LGF} - \angle {HGF} - \angle {HFG}+ \angle {HGL} \\ = & \angle{IFG} + \angle {LGF} - \angle {LGF} - \angle {HFG} \\ = & \angle{IFG} - \angle {HFG} \end{align}$$

$$\angle{LFI} + \angle {HFG} = \angle{IFG}$$

que no es de ningún interés para mí.

Sin embargo, comienzo yo, que al final me a $\angle{LFI} + \angle {HFG} = \angle{IFG}$

Una sugerencia o dos podría ser útil. Gracias.

Nota: este fue un problema en una Olimpiada problema en 3 horas se da para la resolución de los 10 pregunta subjetiva, así que no creo que hay un truco respuesta a esta pregunta.

Answer 1

Desde $HG$ es tangente a la circunferencia $J$, $$\angle{GHF}=\angle{HIF}$$

Del mismo modo, dejando $M\ (\not=F)$ ser el punto en $IF$ y en el círculo de $C$, $$\angle{HGF}=\angle{GMF}=\angle{FEI}=\angle{FHI}$$

Ahora, tenga en cuenta que los triángulos $\triangle{FGH},\triangle{HFI}$ para obtener el resultado.

Answer 2

Directo de una línea de prueba: $\angle GFH = \angle GFE + \angle EFH = \angle HGE + \angle EHG = \angle HEI = \angle HFI$.

No hay nada extra construido!